Paseos aleatorios y el Modelo de los sapos en Z

Abstract

RESUMEN: El objetivo de este trabajo es estudiar las cadenas de Markov a tiempo discreto. Estas cadenas de Markov (Xn)n∈N0 son procesos estocásticos que cumplen la propiedad markoviana. Entre los modelos más conocidos de las cadenas de Markov, están los paseos aleatorios sobre Z y el modelo de los sapos en Z. Una de las preguntas interesantes que hay dentro de las cadenas de Markov es la siguiente: ¿Hay algún chance de que la partícula nunca retorne al estado inicial? Asociados a esta pregunta aparecen dos conceptos fundamentales dentro de las cadenas de Markov, los cuales son los estados de recurrencia y transitoriedad. El primer propósito en este trabajo es estudiar y demostrar la recurrencia y transitoriedad del paseo aleatorio simétrico en Z2 y Z3, mostrando que estos modelos son recurrentes y transitorios, respectivamente. Para el modelo de los sapos en Z, se mostrará bajo qué condiciones este modelo es recurrente o transitorio. En el capítulo final se estudiará la conexión de las cadenas de Markov con las álgebras de evolución, se mostrará por medio de algunos ejemplos, cuándo una cadena de Markov (Xn)n∈N0 genera un álgebra de evolución.