Método de los elementos finitos y su aplicación a la ecuación del calor

Abstract

RESUMEN: El principal objetivo de este trabajo es analizar y comprender la teoría del método de los elementos finitos (FEM) y aplicarla a la Ecuación del calor tanto en una como en dos dimensiones. Para lograr esto estudiaremos primero la teoría de FEM para la Ecuación de Poisson y después aplicaremos la aprendido en el estudio de la Ecuación del calor. Definiremos y analizaremos diversos problemas variacionales asociados a nuestras ecuaciones de interés, cuyas soluciones resultan útiles para aproximar las soluciones clásicas de las mismas usando métodos discretos. Para el caso de la Ecuación del calor discretizaremos la variable temporal y utilizaremos los métodos de Forward Euler, Backward Euler y Crank Nicolson para hallar la aproximación deseada. Derivaremos, también, cotas para el error obtenido tras la aplicación de FEM así como ordenes de convergencia para los mismos, además, daremos los pseudo códigos de los algoritmos que permiten la implementación de FEM en Matlab/Octave y bajo los cuales podremos verificar los resultados teóricos.