USO Y ANÁLISIS DE MODELOS MATEMÁTICOS EN LA FORMACIÓN DE PROFESIONALES EN ALIMENTOS TRABAJO PRESENTADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE MAGÍSTER EN EDUCACIÓN EDWIN DARÍO SEPÚLVEDA PADILLA Asesor Dr. JHONY ALEXANDER VILLA-OCHOA 2016 ii USO Y ANÁLISIS DE MODELOS MATEMÁTICOS EN LA FORMACIÓN DE PROFESIONALES EN ALIMENTOS TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PARA OPTAR AL TÍTULO DE MAGÍSTER EN EDUCACIÓN EDWIN DARÍO SEPÚLVEDA PADILLA Estudiante de Maestría II cohorte Dr. JHONY ALEXANDER VILLA OCHOA Asesor UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN AVANZADA CARMEN DE VIVORAL 2016 iii Agradecimientos Es importante agradecer a las personar que de alguna manera contribuyeron de manera desinteresada para que yo pudiera alcanzar esta meta tan importante de mi vida académica. Al escribir estas líneas pasan por mi cabeza muchas personas y por eso quisiera aclarar que el orden en que los menciono aquí, no necesariamente es una medida de su aporte. Quiero agradecer a mi familia por su apoyo permanente, mi mamá, mi hermana, mi sobrina y a mi mamita que no pudo estar para verme culminar esta empresa. También quiero agradecer a Jhony Alexander Villa Ochoa, mi asesor, por sus orientaciones, su paciencia y sus aportes, ya que finalmente sin su apoyo, este proyecto no hubiese sido una realidad, hago extensivos estos agradecimientos a la Profesora Patricia Camarena por escucharme y por sus comentarios y sugerencias, a los colegas del grupo MATHEMA-FIEM, quienes me escucharon y me hicieron importantes recomendaciones para mi trabajo; en particular a Mónica Marcela Parra y Carlos Rojas Suárez por la lectura de mi trabajo y las observaciones que me ayudaron a mejorar el documento. Por último quiero hacer un agradecimiento especial a todos mis amigos, que de alguna manera facilitaron mi vida durante este periodo de trabajo arduo, al Vitornillo, Yonny Upegui que fue uno de los que más me motivó para iniciar, al Juanelo, Daniela mi novia, Andressa Carvalho, Flanders, Pipe, Harvey Villa, mis dos compañeras de línea, a Tutu y su familia, y a todos los que ahorita no recuerdo. iv Contenido Índice de tablas ............................................................................................................... vii Índice de ilustraciones ..................................................................................................... ix Resumen ........................................................................................................................... xi 1. El problema de Investigación ................................................................................... 1 1.1 Antecedentes ............................................................................................................ 3 1.1.1 Las Matemáticas y la formación de ingenieros ................................................... 3 1.1.2 Contextualización de las matemáticas ................................................................. 5 1.1.3 Las matemáticas en el contexto de formación ..................................................... 8 1.1.4 Modelación matemática en Educación Matemática ......................................... 12 1.1.5 La experiencia con los futuros profesionales en ingeniería ............................. 17 1.2 El problema de investigación ............................................................................... 19 1.2.1 Pregunta de investigación ................................................................................. 24 1.2.2 Objetivos ............................................................................................................. 25 2. Referente teórico ..................................................................................................... 26 2.1 Algunas consideraciones acerca de la formación de los ingenieros ................. 26 2.2 Matemática en el contexto de las ciencias (MCC) ............................................. 30 2.2 Uso y análisis de modelos matemáticos en Educación: una estrategia en el estudio de las matemáticas. .................................................................................................... 42 v 2.3 ¿Porque usar y analizar modelos fundamentados en las matemáticas en el contexto de la ciencias? ........................................................................................................... 50 3. Metodología ............................................................................................................. 53 3.1 El método ............................................................................................................... 55 3.2 El contexto en el que se realizó el estudio ........................................................... 57 3.2.1 La asignatura ...................................................................................................... 57 3.2.2 Los participantes ................................................................................................. 60 3.3 Fases de la investigación ....................................................................................... 61 3.3.1 Fase 1. Concepción y diseño del estudio: .......................................................... 62 3.3.2 Fase 2. Construcción del diseño e implementación a la luz de los referentes teóricos. ................................................................................................................................. 62 3.3.3 Fase 3. Instrumentos para la recolección de datos ........................................... 69 3.3.4 Fase 4. Organización y análisis de los datos. .................................................... 75 3.3.5 Fase 5. Validación del estudio ........................................................................... 79 4. Uso y análisis de modelos matemáticos en la formación de profesionales en Alimentos. Resultados de un estudio ......................................................................................... 81 4.1 El uso de gráficas en el análisis de modelos. Una primera aproximación al estudio de modelos .................................................................................................................. 82 4.2 Razonamiento covariacional en el análisis de modelos matemáticos ............. 105 4.3 Analogías entre procesos alimenticios .............................................................. 124 vi 4.4. Componentes geométricos en los modelos matemáticos para el área de Alimentos ............................................................................................................................... 138 5. Conclusiones .......................................................................................................... 152 6. Bibliografía ............................................................................................................ 164 Anexo 1. Programa de geometría Euclidiana para Tecnología e Ingeniería de Alimentos ......................................................................................... ¡Error! Marcador no definido. Anexo 2. Experimento de enseñanza No 1 .................................................................. 172 Anexo 3. Experimentos de enseñanza No 2 ................................................................ 185 vii Índice de tablas Tabla 1. Estrategias para ofrecer Ingenierías de Calidad ................................................. 29 Tabla 2. Evaluación del desempeño al establecer una propuesta didáctica basada en la fase didáctica de las Matemáticas en el Contexto de las Ciencias .................................... 40 Tabla 3. Habilidades implicadas en el uso de Modelos matemáticos. Tomada de Bissell y Dillon (2000) ..................................................................................................................... 49 Tabla 4. Momentos del estudio que integran las fases de la teoría con el uso y análisis de modelos. ............................................................................................................................ 52 Tabla 5. Etapas para el diseño e implementación de los experimentos de enseñanza...... 65 Tabla 6. Instrumentos para la recolección de los datos .................................................... 74 Tabla 7. Interpretaciones de las gráficas por parte de los estudiantes .............................. 85 Tabla 8. Niveles escogidos para las variables durante la creación del modelo matemático para la deshidratación de yuca .......................................................................................... 97 Tabla 9. Usos de los modelos matemáticos que posibilitaron articulación entre las matemáticas y la ingeniería ............................................................................................. 104 Tabla 10. Datos experimentales del proceso de calentamiento de crema de leche con 25% de grasa............................................................................................................................ 106 Tabla 11. Acciones mentales presentes en el razonamiento covariacional .................... 113 Tabla 12. Acciones mentales / comportamientos llevados a cabo por los estudiantes durante la elaboración de gráficas ................................................................................... 116 Tabla 13. Uso de analogías y las ideas relacionadas ...................................................... 135 viii Tabla 14. Elaboración del estudiante Eder para determinar cómo se dan las mejores relaciones de A/V ............................................................................................................ 141 Tabla 15. Niveles escogidos para las variables durante la creación del modelo matemático para la deshidratación de yuca ..................................................................... 144 ix Índice de ilustraciones Ilustración 1. Aspectos vinculados a la metodología de la investigación......................... 80 Ilustración 2. A/V vs %H ................................................................................................. 88 Ilustración 3. Relación entre humedad retirada y temperatura de control del aire de recirculación para un kilogramo de yuca, dos niveles de velocidad y de relación superficie a volumen .......................................................................................................................... 89 Ilustración 4. Relación entre humedad retirada y temperatura de control del aire de recirculación para dos kilogramos de yuca, dos niveles de velocidad y de relación superficie a volumen. ........................................................................................................ 89 Ilustración 5. Velocidad del aire vs %H ........................................................................... 91 Ilustración 6. Cantidad de yuca vs %H ............................................................................. 91 Ilustración 7. Cantidad de yuca vs %H, y más de 7000 g de yuca ................................... 95 Ilustración 8. Curva de calentamiento para crema de leche con25 % de grasa. ............... 98 Ilustración 9. Curva de calentamiento para crema de leche con 17 % de grasa ............... 98 Ilustración 10.Montaje para el experimento de determinación de difusividad y conductividad térmicas.................................................................................................... 108 Ilustración 11. Elaboración de Albert ............................................................................. 109 Ilustración 12. Elaboración de Berta .............................................................................. 109 Ilustración 13. Elaboración de Maruja ........................................................................... 110 Ilustración 14. Elaboración de Radamel ......................................................................... 111 x Ilustración 15. Elaboración de Eder ............................................................................... 111 Ilustración 16. Elaboración de Robin ............................................................................. 112 Ilustración 17. Fragmento del trabajo de Maruja ........................................................... 130 Ilustración 18. A/V y su dependencia del valor de radio y altura................................... 140 Ilustración 19. Fragmento del trabajo de Albert y Radamel ........................................... 144 Ilustración 20. Representación del gráfico elaborado por Maruja .................................. 145 Ilustración 21. Elaboración de Eder ............................................................................... 146 Ilustración 22. Elaboración de Maruja ........................................................................... 147 Ilustración 23. Elaboración de Radamel ......................................................................... 148 Ilustración 24. Elaboración de Robin ............................................................................. 148 Ilustración 25. Elaboración de Radamel ......................................................................... 149 Ilustración 26. Elaboración de Maruja ........................................................................... 150 Ilustración 27. Elaboración de Eder ............................................................................... 150 Ilustración 28. Los referentes y la articulación a las necesidades de formación ............ 155 xi Resumen Esta investigación se desarrolla en el marco del programa de Maestría en Educación en la línea de Educación Matemática de la Universidad de Antioquia. La investigación tuvo su génesis en la delimitación del problema de investigación a través de la conjunción entre la revisión de la literatura internacional y la experiencia del autor como profesor de matemáticas de futuros profesionales en alimentos. La literatura señala la matemática como una herramienta para la comprensión, para el desarrollo de habilidades y capacidades para desempeñarse profesionalmente. En la revisión realizada se valora el uso de los contextos del área de formación como componentes importantes en los procesos de enseñanza y surge el uso y análisis de modelo matemáticos a través de la Matemática en el contexto de las Ciencias como una manera de articular las matemáticas en los procesos de enseñanza de los profesionales en alimentos. Al reconocer la problemática existente en la formación de futuros profesionales en alimentos (ingenieros y Tecnólogos), se propuso dar respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cómo los estudiantes de una asignatura de Matemáticas ofrecida en un programa de formación en Alimentos usan y analizan modelos matemáticos relacionados con su futuro desempeño profesional? En convergencia entre los referentes teóricos y la pregunta de investigación, se justifica el estudio de casos como método para evidenciar el proceso de análisis de modelos matemáticos llevado a cabo por parte de un grupo de estudiantes y la articulación de las matemáticas y las profesiones mencionadas. De manera convergente se diseñaron experimentos de enseñanza y durante su desarrollo se generaron diferentes registros que permitieron acercarse xii xii a la comprensión del uso y análisis de los modelos y además durante estos procesos de uso y análisis, emergieron diferentes conceptos tanto matemáticos como no matemáticos de una manera articulada. Los resultados del estudio muestran que el trabajo en el aula con el uso y análisis de modelos surge como una alternativa al interior de los procesos de modelación matemática, mediante los cuales se genera articulación entre los componentes matemáticos y de las profesiones en alimentos. Además se sugiere que el uso de tecnologías puede facilitar diferentes actividades propuestas como un mediador para las interpretaciones de los estudiantes. 1 Capítulo 1 1 1. El problema de Investigación En este capítulo se presenta el problema de investigación el cual se consolidó en la conjunción entre la revisión de la literatura internacional y la experiencia del autor como profesor de matemáticas de futuros profesionales en alimentos. Se inicia con una visión general acerca de las características que requiere desarrollar un ingeniero para su desempeño profesional, tales como: capacidad para identificar, plantear y resolver problemas, capacidad de aplicar conocimientos en la práctica, de pensamiento crítico y analítico, y cómo las matemáticas, vistas como una herramienta conceptual, se convierten en un medio a través del cual se puede incentivar el desarrollo de dichas características. Se resalta en particular la necesidad de que en su proceso de formación los profesionales en Alimentos tengan experiencias en las cuales las matemáticas estén articuladas a fenómenos y situaciones propias de este campo de formación. Es conveniente aclarar que la visión de ingeniero no se limitó a la del profesional titulado tras concluir y aprobar 10 semestres académicos (cinco años), sino la de un profesional que tiene conocimientos en torno a diferentes procesos y que además puede proponer maneras de mejorarlos; en ese sentido se señala una estrecha relación con los programas tecnológicos (3 2 años), pues un tecnólogo también requiere del desarrollo de habilidades y de conocimientos de las ciencias, las matemáticas y de la ingeniería que deben ser articulados para el ejercicio de su labor. Nulvalue (1997) encontró que según Ramírez, presidente de la Asociación Colombiana de Ingenieros de Alimentos, “la diferencia principal está en que el ingeniero debe descubrir y aplicar nuevos procesos y métodos en la preservación de alimentos. Y el tecnólogo debe implementar esos procesos y métodos desarrollados por el ingeniero”. Ambos profesionales requieren de conocimientos sólidos en las ciencias que les permitan interpretar, mejorar y optimizar procesos de alimentos. Esta investigación centra su interés en el uso y análisis de modelos matemáticos en una formación matemática articulada al conocimiento propio de los profesionales en Alimentos. A través del estudio se mostrará que tanto ingenieros como los tecnólogos tienen espacios de formación comunes, principalmente en las áreas de ciencias básicas en los primeros semestres. Además el perfil ocupacional de ambos profesionales requiere del desarrollo de habilidades y conocimientos similares en lo referente a sus habilidades comunicativas, de trabajo en grupos interdisciplinarios y de solución de problemas de la industria. Con base en lo anterior, es posible asumir que muchos de los desarrollos en el área de la Educación Matemática y de la Educación en Ingeniería pueden ser de utilidad para mejorar los procesos de formación tanto de los ingenieros como de los tecnólogos. En ese sentido, el término “ingenieros” en algunos apartes de este documento se usará como una manera de referirse a profesionales del área de Alimentos sin discriminar el tiempo de duración de sus programas de estudio. 3 1.1 Antecedentes 1.1.1 Las Matemáticas y la formación de ingenieros En relación con los programas de ingeniería ofrecidos por las universidades en Colombia, el Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN), a través del portal Colombia Aprende, ha reportado los fundamentos sobre los cuales se cimientan las diferentes ingenierías. Estos hacen referencia a las materias de las áreas básicas de formación, como química, física, biología, matemáticas; para posteriormente señalar la finalidad del profesional, en el caso de la ingeniería de alimentos, a la luz de dichos fundamentos, se destaca la presencia de las matemáticas y las ciencias naturales. En el mismo portal (MEN, 2014) el Ministerio de Educación hace hincapié sobre las finalidades de la formación en Ingeniería de Alimentos, en particular, se resalta, la solución de problemas, optimización de recursos para el desarrollo sostenible y el bienestar de la humanidad y funciones relacionadas con producción, administración y salud pública. En la literatura internacional se ha señalado que cuando los futuros profesionales inician sus estudios presentan inquietudes frente al papel que juegan las matemáticas tanto en su formación como en su futuro desempeño profesional (Camarena, 2009; Craig, 2013). En particular, Craig (2013) reportó que tales inquietudes se deben, en parte, a que los estudiantes desconocen la utilidad concreta de las matemáticas y, sumado a esto, piensan que tienen mayor relevancia en sus estudios o en su vida académica que en la profesional. En muchos casos, el enfoque “ultra cuantitativo” y sus pocos efectos sociales hacen que los programas de ingeniería no sean la primera elección de los estudiantes (King 2012). En su estudio, Craig (2013) puntualizó que es posible encontrar otros estudiantes que ven las matemáticas como una 4 herramienta que les permitirá, a futuro, generar soluciones a problemas de diversas índoles, incluso, a problemas que inicialmente no tienen relación directa con las matemáticas. Entre los principales argumentos que los estudiantes utilizan para defender la presencia de las matemáticas en su formación, Craig (2013) encontró que, generalmente, coinciden en aspectos como: la posibilidad de generar un potencial y habilidades en ellos, para la solución de problemas, además de la destreza conceptual y la capacidad de pensar de manera lógica y estructurada. De acuerdo a lo anterior se puede hacer referencia a la necesidad de formar ingenieros que además de entender las matemáticas, estén en capacidad usarlas en sus propios contextos, tanto a la vida cotidiana como en aspectos relacionados con su quehacer profesional. Según The Royal Academy of Engineering (citada por Sunthonkanokpong, 2011), los graduados de ingeniería, matemáticas y ciencias son sujetos clave para proporcionar mecanismos que permitan recuperar la economía, mejorar el desempeño de la industria, y en general el mejoramiento de la calidad de vida, así mismo al contemplar lo semejantes que resultan los programas de ingeniería y tecnología de alimentos, de acuerdo con Nulvalue (1997) es pertinente reconocer que los tecnólogos juegan un importante papel en la generación de dichos mecanismos. Estas consideraciones sugieren que la formación de los futuros profesionales puede ofrecer mejores resultados, si se orienta hacia la preparación del estudiante para enfrentar problemas relacionados con situaciones con el campo de formación. En coherencia con lo anterior, las matemáticas se consideran no solo como un sistema conceptual sino, principalmente, como una herramienta que puede generar y despertar capacidades y habilidades en lo relacionado con la resolución de problemas, estudiar y comprender los fenómenos en los cuales se usan. Este tipo de consideraciones, ponen de 5 relieve el papel de los contextos en la formación matemática de los ingenieros; en el siguiente apartado se profundiza más al respecto. 1.1.2 Contextualización de las matemáticas Las matemáticas aún son reconocidas por gran parte de la sociedad como una disciplina difícil y frecuentemente apartada de las personas por estar desconectada de la vida cotidiana (Angulo, 2013; Kistemann Jr, 2012). Un aspecto importante a tener en cuenta para abordar las matemáticas como una base fundamental de la estructura de un programa de ingeniería y del pensamiento estructurado, es el relacionado con la metodología empleada para su enseñanza, que debe hacer tangible su uso y limitar su percepción como una ciencia que se aparta de lo cotidiano. Según Brown (2013) la visualización de un fenómeno, vista como una herramienta metodológica, puede facilitar la comprensión de diversos conceptos. Lo que resulta útil como una manera para realizar una inmersión en un contexto particular. De acuerdo con Muro (2000) algunos de los problemas de la vida real requieren de profesionales con conocimientos de diversos temas de las matemáticas tales como: el límite, el infinito, las funciones etc., y que estos conocimientos son impartidos o presentados en las asignaturas de matemáticas generalmente de manera desvinculada de aquellas asignaturas donde el tema cobra vida. La autora sostiene que uno de los aspectos que parece influir en dicha desvinculación, es el hecho de que estos cursos son ofrecidos por profesores que no se preocupan por ver la matemática de manera contextualizada en otras especialidades de la tecnología e ingeniería. Todo esto le dificulta al estudiante conceptualizar las matemáticas y verlas como una herramienta de apoyo. Contrario a ello, generalmente los futuros profesionales se ven involucrados en ambientes donde se le exige problemas referentes a un área sin que ello implique el establecimiento de vínculos con las matemáticas. Evidentemente esta 6 desarticulación genera dificultades en la preparación del futuro profesional y, por tanto, es un fenómeno abierto de investigación (Rendón-Mesa y Esteban, 2013). Algunas de las dificultades descritas anteriormente pueden comprenderse a través de lo que Freudenthal (1983, citado por Angulo, 2013) ha señalado como “inversión anti didáctica”, es decir, centrar la actividad matemática escolar en el tratamiento de los conceptos (cursos de matemáticas) y no en la actividad misma (experiencias donde se recrea la producción matemática a partir de la “realidad”). Con lo expuesto se señala que pueden resultar metodologías de enseñanza que ayuden al estudiante a desarrollar habilidades en el uso de las matemáticas, para lo cual existen ahora variedad de herramientas, entre las cuales cabe mencionar las ofrecidas por la tecnología, trabajo en laboratorio y análisis de situaciones de la vida diaria, lo que puede posibilitar que el estudiante utilice un modelo matemático, pero poniendo de prerrequisito la comprensión del fenómeno. Los elementos presentados hasta aquí ofrecen una perspectiva en la cual la enseñanza universitaria debe realizar cambios metodológicos y debe darle al estudiante un papel más activo en su formación, enfatizar en la importancia de generar buenas bases científicas y estimular el pensamiento crítico, analítico y reflexivo, para contribuir a la formación de profesionales que satisfagan los requerimientos de la comunidad. Cuestión que converge con la investigación de Sunthonkanokpong (2010), quien encontró que los programas de formación en ingeniería deben enfocar sus esfuerzos relacionados con las prácticas de ingeniería e instrucción, en aspectos como los que se presentan a continuación: generar buena comunicación, gran capacidad de análisis y de exhibir ingenio práctico, ademas poseer la creatividad y ética profesional. 7 Parte de los aspectos mencionados pueden alcanzarse si los profesores, en este caso los de matemáticas, buscan metodologías que permitan que el futuro ingeniero reciba en su formación académica todo lo que requiere para tener éxito a nivel profesional (Camarena, Trejo, y Trejo, 2013). Según Camarena et al. (2013), las matemáticas contextualizadas proveen al estudiante herramientas necesarias para solucionar problemas donde se requiera capacidad analítica e innovadora, y se puede generar en el estudiante mayor interés en la investigación aplicada y la resolución de fenómenos relacionados con el campo de acción de la ingeniería. Al contextualizar situaciones, interactuar y manipular problemas, se llevará al sujeto a un proceso de atribución de significados, pues es posible pasar de la mera observación a algoritmos y a generar interacción con problemas sin respuestas definidas inmersos en contextos relevantes (Kistemann Jr, 2012). De acuerdo con Cruz y Medina (2013) cuando se proponen aplicaciones que parten de contextos “reales”, el estudiante trabaja de manera simultánea procesos analíticos, sociales y conceptuales; lo que favorece el desarrollo de estructuras cognitivas y facilita que el estudiante emplee los conceptos aprendidos en otras situaciones. Según Villa-Ochoa y Ruiz (2009) se debe destacar la importancia del contexto de las situaciones abordadas y los propósitos de la clase para la selección de los problemas, y que generalmente estas situaciones parten de la vida real; lo que sugiere, que para comprender los conceptos matemáticos es fundamental la comprensión del fenómeno abordado, y que de esta forma la presentación de los conceptos matemáticos se puede hacer de una manera más atractiva para el estudiante. Camarena et al. (2013) contempla que para diseñar actividades enmarcadas en contextos de interés que apoyen el aprendizaje de conocimientos estructurados sobre 8 matemáticas, es importante conocer los conocimientos previos del estudiante, los cuales podrá emplear en otras ciencias y así se favorezca sus competencias profesionales y laborales. Al hacer una reflexión de lo anterior resulta positivo en los procesos de formación, usar ejemplos, proponer problemas y proyectos enmarcados en contextos de interés para el estudiante y relacionados de manera directa con su profesión, ya que es posible según los autores citados que se favorezca el aprendizaje, la apropiación de conceptos y la capacidad de llevar éstos conocimientos a otras situaciones. 1.1.3 Las matemáticas en el contexto de formación Sunthonkanokpong (2011) plantea que la enseñanza en ingenierías debe adaptarse en términos de sus prácticas de aula para cumplir con los requisitos formativos de los ingenieros de la nueva era, ingeniería de calidad, que requiere profesionales emprendedores, innovadores, con visión de gestión, con capacidad de mejorar procesos e incrementar su productividad y así, al mejorar aspectos en la industria, estos tendrán repercusiones en el ámbito social y económico. Consecuentemente Camarena (2009) menciona que dicha adaptación estará fundamentada en el hecho de que con los cursos de matemáticas el estudiante poseerá los elementos y las herramientas que utilizará en las materias específicas de su carrera, es decir, las asignaturas de matemáticas no son una meta por sí mismas. Sin embargo, hacen parte de las necesidades formativas del estudiante. Esto va acorde con los planteamientos de King (2012) quien destaca la importancia de ofrecer cursos enfocados a la ilustración de lo que hará un futuro ingeniero y de cómo usar los conocimientos adquiridos en la universidad. Así se puede interpretar esto como la necesidad de llevar los conocimientos de diferentes cursos a 9 situaciones reales y más puntualmente al uso de las matemáticas en situaciones u otras ciencias como una herramienta que ayudará a dar soluciones. Uno de los pasos de la “adaptación” y modernización de los programas de ingeniería enfocados a satisfacer las necesidades de la industria y la sociedad, es en consecuencia la generación de algunos cambios en la enseñanza de las matemáticas en los programas de ingeniería. Brito-Vallina, Alemán-Romero, Fraga-Guerra, Para-García y Arias-de Tapia (2011) afirman que al pasar parte de la responsabilidad del aprendizaje al estudiante, mediante la elección de un tema de su interés, y trabajar al respecto con la orientación del docente, en el uso y creación de modelos matemáticos contextualizados en otras áreas del conocimiento, se puede enriquecer el aprendizaje y despertar el sentido crítico y creativo del estudiante. En su investigación, Biembengut y Hein (2004) sostienen que uno de los objetivos de la enseñanza de la matemática, es el desarrollo de habilidades en los estudiantes para favorecer su interacción con la sociedad. Para estos investigadores el uso de los modelos matemáticos en las prácticas escolares representa un avance en la enseñanza de las matemáticas, puesto que estas dejan de verse como simples técnicas de solución y pasan a ser una herramienta para estudiar otras áreas del conocimiento. Un argumento semejante es considerado por King (2012) quien señala que el ingeniero debe tener habilidades para trabajar en sinergia y comunicarse con profesionales de otras disciplinas. Esto puede lograrse si se usa de manera sistemática el lenguaje y las expresiones matemáticas empleadas en diversas ciencias, ya que las matemáticas sirven como eje que articula y mejora la comunicación entre estas. Así cabe mencionar la importancia que tienen para muchas ingenierías expresiones matemáticas como: la ley de Fourier, para la conducción de calor, Fick para la transferencia de masa y Arrhenius para la dependencia térmica de las 10 reacciones químicas, las cuales han gobernado y gobiernan la modelación matemática y la interpretación física de algunos fenómenos sin tener en cuenta el efecto producido por diversos cambios de carácter físico y químico (Martínez, 2003). De acuerdo con todo lo mencionado, podemos afirmar que existe una necesidad de profundizar en el entendimiento de los fenómenos relacionados con el perfil ocupacional de los tecnólogos e ingenieros, así como en el desarrollo de nuevos modelos que puedan explicar y facilitar la comprensión de diversas situaciones (Martínez, 2003). Bajo esta óptica, la educación universitaria debe buscar alternativas que den un papel activo al estudiante, para generar pensamiento crítico y de esta manera se podrá formar profesionales que puedan generar un impacto social (Camarena et al. 2013). En el caso de los ingenieros, cuando el estudiante tiene un papel activo en los procesos formativos puede desarrollar diversidad de competencias. De acuerdo con Parra (2003) dichas competencias hacen referencia al uso creativo de los conocimientos en distintas circunstancias o también se definen como un saber hacer en contexto, y como se ha podido observar a través de la revisión de la literatura, las matemáticas son útiles para desarrollar diversas cualidades y más cuando se usan como herramienta para estudiar fenómenos asociados a su campo de formación. La importancia del desarrollo de habilidades y competencias radica en la amplitud del quehacer de los profesionales, ya que los ayudan a enfrentarse adecuadamente actividades propias de su oficio, estas actividades son clasificadas por Recuero (2002) de la siguiente manera: 1. Investigación Básica 11 2. Investigación y Desarrollo 3. Proyectos: Ingeniería de Proyectos, Diseño, Estudios 4. Gestión y Administración: Dirección de Proyectos, Gestión de operaciones, Sistemas de información. 5. Producción: Control de procesos, Control de calidad. Marketing y Comercialización: Dirección comercial, Comunicación, Servicio post-venta Las consideraciones acerca de las matemáticas como herramienta útil en la formación de un ingeniero, en el desarrollo de habilidades para estudiar y resolver problemas propios de las ciencias han estado en las raíces de diversas aproximaciones teóricas. Así, por ejemplo, Camarena et al. (2013) destaca un conjunto de fases y posicionamientos que sugieren aspectos teóricos y metodológicos a través de los cuales la formación de un ingeniero no se agota en la reproducción de los saberes matemáticos, sino que también se articulan al quehacer de este tipo de profesionales. La apuesta teórica que presenta Camarena et al. (2013); Camarena (2009) se denomina Matemáticas en el Contexto de las Ciencias (MCC). La teoría considera el proceso de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas y consta de cinco momentos (si bien las autora habla de fases esta investigación hace referencia a estas mediante el término momentos con el fin de mantener una semántica menos disyunta y mostrar las fases con una mayor interrelación), a saber: curricular, didáctico, epistemológico, de formación docente y cognitivo (Camarena, 2009). Según la autora actualmente la teoría es aplicada en diversos niveles educativos, incluso en áreas de conocimiento que no forman matemáticos. 12 La teoría analiza la vinculación necesaria entre las matemáticas y las ciencias que la requieren, es decir tratan de ofrecer al estudiante unas matemáticas para su desempeño profesional, además acoge una de las llamadas terna dorada de la educación: el estudiante, el contenido y el profesor, a la cual se vincula dos elementos de interacción, y esto da origen a los cinco momentos mencionados anteriormente. A lo largo de sus trabajos, Camarena ha hecho énfasis en la importancia de hacer una observación referente al uso y construcción del modelo matemático como la etapa central de la teoría, lo que hace necesario definir: ¿Qué es un modelo matemático?, ¿Qué es modelación matemática?, para establecer una posible relación y el momento de convergencia. Para la investigadora, un modelo matemático es aquella relación matemática que describe objetos o problemas de la ingeniería y modelación matemática se define como el proceso cognitivo que se tiene que llevar a cabo para llegar a la construcción del modelo matemático de un problema u objeto del área del contexto. De acuerdo a las ideas presentadas se infiere una importante relación entre las matemáticas en el contexto de las ciencias y la modelación matemática, donde podría pensarse en primera instancia que las MCC toman como herramienta algunos elementos de la modelación matemática, por lo que puede ser pertinente desarrollar un apartado dedicado a la modelación matemática en educación matemática. 1.1.4 Modelación matemática en Educación Matemática La modelación matemática en Educación Matemática inicia como un movimiento al final de la década de los años setenta y es vista como una alternativa para la enseñanza de matemáticas en el aula y en otros espacios (Kistemann Jr, 2012). En el contexto de la 13 educación matemática, hay quienes la conciben como una metodología que se centra en la observación de la “realidad” para comprender los fenómenos de diversas ciencias, discusiones e investigaciones, a fin de modificar las actividades del aula y a su vez la forma de ver el mundo de los participantes, (Kistermann Jr, 2012). El estudio de los problemas del mundo real ha sido fuente de inspiración para la construcción de teorías y modelos que expliquen y solucionen problemas que parten de la realidad (Quarteroni, 2009; Villa-Ochoa y Ruiz, 2009). Es importante comprender los fenómenos, para explicarlos, más aún para predecir y comprender el comportamiento de una situación que pueda presentarse, según Villa-Ochoa, (2007) la modelación matemática como recurso educativo tiene sus raíces en la actividad científica del matemático aplicado. Es decir, en la actividad de estudiar fenómenos de otras ciencias, construir modelos matemáticos para explicarlo y resolver problemas que en ellas se involucre. Sin embargo, actualmente en el ámbito de la Educación Matemática, la modelación ha cobrado otros sentidos y no se agota solo en la producción de modelos y en el tratamiento de procesos y ciclos (Barbosa, 2001). De acuerdo con Berges (2009), la modelación matemática encuentra un lugar en las esferas más importantes de la actividad, la técnica, el experimento científico y el conocimiento teóricoy en su aplicación tiene un carácter científico. Esta autora reconoce que la importancia de la modelación matemática radica en las funciones que cumple, entre las cuales cabe mencionar: la función ilustrativa, que permite presentar de una manera sensorial propiedades desconocidas, la función traslativa, que permite llevar la información obtenida a la realidad, y otras funciones de carácter aproximativo y pronosticador que le brindan mayor amplitud al método de enseñanza. 14 Estas características incrementan la posibilidad de comprender el fenómeno, y según Bassanezi y Biembengut (1997) mientras más se profundiza en dicha comprensión, es más posible alcanzar el nivel de conocimiento deseado. Lo expuesto en este apartado permite visualizar la modelación matemática como un recurso para la formación matemática de los profesionales relacionados con la ingeniería, ya que permite que estos futuros profesionales comprendan de manera aplicada la importancia de las matemáticas y el porqué de la presencia de éstas en los currículos, además de la necesidad y uso frecuente de esta ciencia para la solución de problemas particulares de las otras ciencias. Se observa pues que la modelación matemática cumple con funciones que buscan el desarrollo de diferentes actitudes, entre ellas, Ortega, Torres, Santos, y López, (2004) resaltan:  La vinculación de la matemática en el ejercicio de la profesión  Desarrollar habilidades en la interpretación y solución de problemas  Conocer fenómenos químicos, físicos y biológicos que encontrarán en diferentes asignaturas en el transcurso de la carrera.  Desarrollar habilidades investigativas mediante la búsqueda por parte de los estudiantes de situaciones que puedan servir como contexto. Tanto Biembengut y Hein (2004) como Brito (2011) han afirmado que mediante la aplicación de la modelación matemática se pretende propiciar en el estudiante:  Integración de las matemáticas con otras áreas del conocimiento  Interés por las matemáticas frente a su aplicabilidad  Mejoría de la aprehensión de los conceptos matemáticos 15  Capacidad para leer, interpretar, formular y resolver situaciones- problema  Estimular la creatividad en la formulación y resolución de problemas  Habilidad en el uso de la tecnología (calculadora gráfica y computadoras)  Capacidad para actuar en grupo  Orientación para la realización de la investigación  Capacidad para la redacción de esa investigación Algunas de las conclusiones de Ortega et al, (2004) frente a las funciones que cumple la modelación matemática son:  La Modelación Matemática como elemento directriz contribuye a integrar los diferentes saberes.  La solución de problemas profesionales en los primeros años incrementa el interés por la carrera.  La utilización de modelos matemáticos contribuye en la formación de profesionales de la ingeniería con capacidad de intervenir en procesos productivos, investigativos y administrativos. La modelación1 resulta atractiva como método de enseñanza cuando se aprecia su carácter integrador de saberes y su capacidad para generar cualidades, aún más por la cercana relación con la vida real y la experiencia del estudiante. De acuerdo con Kaiser y Sriraman 1 En adelante se usará el término modelación como sinónimo de modelación matemática 16 (2006) no es homogénea la comprensión sobre modelación en el ámbito de la Educación Matemática. Para los autores, existen diferentes perspectivas, entre ellas: la realista, la contextual, la educacional, la sociocrítica y la epistemológica. Cada una genera aportes a nivel educativo. Sin embargo, algunas guardan similitudes y diferencias en sus interpretaciones y en la manera de actuar en el aula de clase. Sin enmarcar esta investigación solo en una perspectiva se rescata del trabajo de Kaiser y Sriraman (2006) algunas características que la modelación en general contempla a nivel educativo:  Desarrollar la capacidad para solucionar problemas.  Hay diversas formas de comunicación, por ejemplo a través de dibujos, diagramas, gráficos, modelos, etc.  La importancia del contexto y la aplicación  Los conocimientos se dan mediante la experiencia y pueden generar un aporte para la toma de decisiones. La revisión de la literatura realizada hasta aquí resalta el papel de los modelos y la modelación en el estudio de fenómenos en diferentes contextos. También muestra la necesidad que el estudio de modelos y la modelación sea un aspecto fundamental en la formación matemática de los profesionales relacionados con la ingeniería. Frente a estos profesionales se ha destacado el rol de ellos como partícipes de los desarrollo de la humanidad y agentes solucionadores de problemas. También se ha señalado la importancia de las matemáticas tanto a nivel social como para la formación académica y profesional de los ingenieros, y se visualiza como generadora de diversas cualidades en los estudiantes. Lo que permite pensar que es necesario seleccionar adecuados recursos para la enseñanza acorde con las necesidades de formación. Conforme se ha mencionado anteriormente, es aquí donde se pone de manifiesto la 17 importancia de los contextos y la modelación para lograr los resultados formativos que según la literatura se buscan en los futuros profesionales afines a la ingeniería. El estudio de modelos, la modelación y el uso de contextos relacionados con el campo de formación están relacionados con una adecuada planeación de los cursos. En la síntesis del foro La enseñanza de las matemáticas para ingenieros realizado en México del 29 de noviembre al 1 de diciembre de 2001, (http://www.dcb.unam.mx/Eventos/ForoMatematicas2/memorias/foro.htm) se señaló la importancia de la planeación de los contenidos, métodos, recursos y procesos de evaluación para dar control a las variables que intervienen en el proceso de enseñanza aprendizaje. Además se puntualizó que el profesor de matemáticas debe hacer uso de la didáctica para facilitarle al estudiante la apropiación del conocimiento y su aplicación a la resolución de problemas mediante la construcción de modelos matemáticos y afirman que esta es la razón de ser de las matemáticas en las ingenierías. En las anteriores líneas es posible reconocer que la elaboración de modelos matemáticos es una tarea compleja, de acuerdo con Javaroni y Soares (2012) en el estudio de una situación específica no solo en necesario producir modelos, sino también conocer, usar y analizar modelos ya conocidos frente a esa situación; esto sugiere que analizar modelos resulta interesante por su estrecho vínculo con la modelación. 1.1.5 La experiencia con los futuros profesionales en ingeniería A partir de la experiencia que el autor de este documento ha tenido como profesor de matemáticas de futuros tecnólogos e ingenieros alimentos es posible observar diversidad preocupaciones e interrogantes en lo relacionado con la utilidad concreta de las asignaturas, debido a que en estas se aborda diversidad de temas, muchas veces de manera general y en 18 contextos poco atractivos para el estudiante. Las matemáticas no son una excepción cuando se habla de cursos que se ofrecen sin dar relevancia al uso de los contextos y con poca o nula relación con el programa académico en el cual se imparten. Algunos de estos aspectos son mencionados por los estudiantes cuando afirman que a pesar de que de alguna manera saben de la importancia de las matemáticas, difícilmente pueden observarse en sus cursos en relación con su profesión en estudio. Conforme se argumentó en los apartados anteriores, en la literatura autores como Camarena (2009), Craig (2013), King (2012), Angulo (2013), Brown (2013), Parra (2003), Muro (2000) han reconocido la necesidad de emplear contextos relacionados con el programa de formación, que esta necesidad está presente en la formación de muchos ingenieros y se empieza a observar un interés generalizado por realizar cambios que permitan una formación integral de los futuros profesionales. En la interacción con estudiantes de ingeniería y tecnología de Alimentos de la Universidad de Antioquia se ha observado algunas dificultades similares a las planteadas en los apartados anteriores, tanto en lo relacionado con el desconocimiento acerca del aporte que las matemáticas pueden hacer en su vida académica y profesional, como en la necesidad de emplear contextos que favorezcan un estudio y comprensión de la matemática con significados asociados a su uso en el campo profesional. Estas observaciones dejan entrever que existen dificultades a nivel formativo, ya que se ha constatado que los estudiantes muchas veces no logran emplear diversos conceptos matemáticos en la solución de eventos en contextos particulares. 19 De Guzmán y Gil (1993) manifiesta una preocupación por hacer patentes en el ambiente de aprendizaje, los impactos mutuos entre las matemáticas y la sociedad. Este autor sostiene que muchos de los fracasos de los estudiantes en matemáticas, encuentran su origen en su concepción inicial de las matemáticas como algo negativo, concepción provocada, en muchos casos, cuando se enfatiza principalmente en aspectos de tipo disciplinar, analítico y procedimental se descuida aspectos como el uso de las matemáticas en diferentes dimensiones de su formación, y que por esta razón se debe intentar que los estudiantes perciban el placer lúdico que las matemáticas son capaces de proporcionar. De acuerdo con lo dicho anteriormente y a conversaciones con docentes de los primeros semestres de los programas de tecnología e ingeniería de alimentos, se ha observado un interés por ofrecer los conceptos matemáticos al interior de sus clases enmarcados en contextos representativos para el estudiante, en busca de mejorar los resultados formativos. Debido a esto algunos de los profesores intentan diseñar actividades, ejemplos y ejercicios que tengan una relación directa con el quehacer de los profesionales en alimentos, para ello, toman situaciones de diferentes áreas como procesos de alimentos, operaciones unitarias, análisis de alimentos e incluso química y física. Las acciones mencionadas permiten reconocer la necesidad de indagar sobre una manera más articulada para hacerlo, es decir, la aplicación de una o más teorías que han sido desarrolladas y evidencian tener buenos resultados. 1.2 El problema de investigación Al momento de revisar los programas de Ingeniería y Tecnología de Alimentos de varias universidades en Colombia, entre las cuales cabe mencionar, Universidad del Valle, la 20 Salle, la Universidad de Antioquia, la UNAD2, se observa que los objetivos están enfocados en generar un impacto social a través del mejoramiento de procesos productivos, generar nuevos desarrollos de productos, equipos y procesos, mediante el uso de los conocimientos ingenieriles apoyados en las ciencias básicas. En las competencias básicas del programa de Ingeniería de Alimentos de la UNAD se destaca la importancia de aprender autónomamente, trabajar en equipo de forma colaborativa, elaborar escritos, argumentar, debatir y desarrollar pensamiento lógico. En busca de formar al estudiante como autogestor del conocimiento, con capacidad para tomar decisiones para lo cual debe analizar e identificar problemas, las causas y las diferentes alternativas de solución, para seleccionar la más adecuada. De manera similar, el programa de Ingeniería de Alimentos de la Universidad del Valle destaca la importancia del pensamiento crítico en sus profesionales y su capacidad para innovar. Al revisar el perfil del egresado de ingeniería de Alimentos de la Universidad de Antioquia se encontró que se busca una formación integral, fundamentada en una estructura científica y humanística. Se piensa el ingeniero de alimentos como alguien, crítico, creativo, racional, con capacidad de interactuar en grupos interdisciplinarios, investigar, diseñar, optimizar y solucionar problemas relacionados con procesos alimentarios, calidad y administración. El programa de Tecnología de Alimentos de la Universidad de Antioquia busca generar capacidades de trabajo en equipo, tiene un importante énfasis en las ciencias básicas y al igual que con los ingenieros de Alimentos se pretende que estén en capacidad de trabajar de 2 Universidad Nacional Abierta y a Distancia 21 manera crítica, en grupos interdisciplinarios y participar en la solución de los problemas de la industria agroalimentaria. Los propósitos de formación de los futuros profesionales en Alimentos en las universidades mencionadas anteriormente coinciden en la generación de cualidades y desarrollo de diversas capacidades para que los futuros profesionales se enfrenten y resuelvan los problemas que se presentan en la industria, lo académico y la sociedad. En cuanto a la resolución de problemas se devela la necesidad de reflexionar sobre la toma de decisiones, ya que este aspecto es una tarea frecuente en los distintos roles profesionales. Sin embargo, Narro (1996) señala que, generalmente, las decisiones parecen tomarse basados en la intuición, y debe hacerse basándose en las alternativas que la situación provee, lo que hace necesario el uso de un instrumento que facilite una elección informada. Esta autora considera que las matemáticas proporcionan diversos instrumentos que apoyan dicha tarea, entre estos, el uso de los modelos matemáticos. Así cuando se trabaja procesos productivos o investigativos, se hace importante conocer las posibles variables implicadas en dichos procesos, ya que esto permite que se puedan generar posibles soluciones, haciendo uso de argumentos aprendidos y herramientas que permitan controlar y manipular la situación, a fin de obtener los resultados más productivos o de mayor interés. Tal capacidad permitirá que los futuros profesionales, al enfrentar dificultades propias de su oficio, lo puedan hacer eficazmente, con la capacidad de percibir los cambios del medio y ajustarse a ellos constantemente. De acuerdo con la revisión de la literatura presentada en la sección anterior, las matemáticas son una ciencia que posibilita la generación de diversas cualidades que identifican 22 a un profesional en áreas relacionadas con la ingeniería, además permiten la comprensión, la predicción e interpretación de los fenómenos a través de los modelos matemáticos. Biembengut y Hein (2004) destacan la importancia de la modelación matemática como método de enseñanza e investigación, en los dos casos la premisa es que con su uso se promueve el conocimiento matemático y la habilidad para aplicarlo en las otras áreas del conocimiento, con lo que se genera que el alumno fortalezca sus cualidades y alcance el pensamiento crítico. Sin embargo, con excepción del trabajo de Soares (2012) y de Javaroni y Soares (2012), el uso y análisis de los modelos matemáticos en la formación en ciencias e ingeniería, para la comprensión de los fenómenos, la relación entre las variables y la importancia de los parámetros, no es muy abundante en la literatura internacional. Bissell y Dillon (2000) manifiestan la importancia del uso de los modelos matemáticos existentes, ya que normalmente los profesores enfatizan en la construcción del modelo, pero que en la práctica ingenieros y tecnólogos emplean modelos conocidos, los cuales adaptan ligeramente para ser usados, también afirman que el proceso de modelación se da gradualmente, y que este puede ser un inicio. Estos autores afirman que aquí resultan importantes características como la intuición para elegir el modelo, las circunstancias en las que se empleará, también reconocen que mientras más preciso es el modelo más compleja será su manipulación y finalmente la importancia de las conclusiones que el uso del modelo permita alcanzar. También la experiencia documentada con los futuros tecnólogos e ingenieros, presentada anteriormente, y los requerimientos formativos de las universidades en Colombia, sugieren que existe una necesidad de integrar otros aspectos propios de las matemáticas, como el uso y análisis de modelos matemáticos de interés. 23 Develar el uso de los modelos matemáticos en los diferentes campos del saber, es una actividad necesaria en la formación de un ingeniero. Los modelos matemáticos permiten hacer predicciones mediante ecuaciones, algunas de estas ayudan a determinar la vida útil de un producto (Cárdenas, Giannuzzi, Noia y Zaritzky, 2001) . Otro modelo de gran interés que ayuda a controlar, predecir y mejorar procesos alimentarios es la ley de Fick para la transferencia de masa (Ochoa-Martínez, 2005). Según Brito (2011) existe una brecha entre las habilidades requeridas por un ingeniero, vinculadas fundamentalmente a las actividades de modelar, interpretar, comunicarse en un lenguaje preciso, etc., y las habilidades que se forman en los cursos de Matemática. Esto se refleja de manera más fuerte en los cursos básicos de los programas de Ingeniería y Tecnología de Alimentos de la Universidad de Antioquia, donde se abordan problemas y contextos pero por lo general sin relación directa con el programa académico, además se hace poco énfasis en el análisis y producción de modelos y su importancia. Es decir, solo se abordan los temas y los conceptos, pero los contextos no generan el impacto necesario en los estudiantes para despertar su interés y hacer efectiva la resolución de las situaciones presentadas mediante un adecuado análisis. Resolver un problema real generalmente es complicado y no se sabe por dónde empezar. Esto se debe, entre otros asuntos, a que los elementos que en él intervienen son numerosos. También influye que las relaciones entre estos elementos no son evidentes. Por consiguiente, es difícil expresar el problema en forma clara (Narro, 1996). Observada la ansiedad en general del estudiante al enfrentar situaciones donde se requiere el uso coherente de conceptos matemáticos, frecuentemente manifestada mediante la pregunta: ¿Por dónde empiezo?, puede ser superada con la implementación de nuevas 24 estrategias de enseñanza, el fortalecimiento del aprendizaje de conceptos y el desarrollo de habilidades en los estudiantes. Se destaca el trabajo de Craig (2013) en el cual se señala la importancia de las matemáticas en la formación de los futuros ingenieros, tanto a nivel académico como a nivel profesional, por posibilitar destrezas para solución de problemas. Basado en los elementos anteriores, se pone de relieve la necesidad de articular los cursos de matemáticas con las necesidades de formación de los profesionales en alimentos (ingenieros y tecnólogos); asimismo, considerar las matemáticas como una herramienta para la comprensión, de igual manera, surge la idea de analizar y comprender modelos matemáticos inscritos en situaciones de interés, para conocer la influencia de los parámetros en las posibles soluciones que pueden ofrecer dichos modelos, aprender conceptos matemáticos y de alguna forma contribuir en el alcance de los requerimientos formativos planteados por las universidades que imparten los programas de ingeniería o tecnología de alimentos y, en particular, los requerimientos formativos de estos programas en la Universidad de Antioquia. Tales requerimientos buscan la formación de un profesional con la capacidad de enfrentar y resolver diversas situaciones de una manera crítica. 1.2.1 Pregunta de investigación En concordancia con lo expuesto en el apartado anterior surge el siguiente cuestionamiento: ¿Cómo los estudiantes de una asignatura de Matemáticas ofrecida en un programa de formación en Alimentos usan y analizan modelos matemáticos relacionados con su futuro desempeño profesional? 25 Responder a esta pregunta implica el reconocimiento de los modos en que los estudiantes de un programa de formación en Alimentos (tecnología o ingeniería) usan los modelos matemáticos anteriormente mencionados, a través de lo cual se espera generar orientaciones frente a la manera como se puede implementar esta estrategia en la formación de ingenieros, de tal forma que los estudiantes reconozcan los roles de los modelos y los contextos en su campo de formación. Adicionalmente, se ofrece la posibilidad de participar en el desarrollo de habilidades de modelación en su futuro desempeño profesional. De otro modo, debe permitir identificar las ideas que los estudiantes se van haciendo sobre el rol de las matemáticas en su proceso de formación. 1.2.2 Objetivos  Analizar la manera en qué los estudiantes de un curso de matemáticas ofrecido en un programa de formación en Alimentos usan y analizan diversos modelos matemáticos que están relacionados con su futuro desempeño profesional.  Reconocer las posibilidades y los desafíos que el análisis de modelos matemáticos presenta en la articulación a las necesidades de formación de profesionales en alimentos. 26 Capítulo 2 2. Referentes teóricos En este capítulo se retoman algunas ideas frente a la necesidad de que las matemáticas de los programas de formación en alimentos se orienten a que los estudiantes durante su formación atiendan a los significados, problemas y contextos propios de estos programas para que, de alguna manera, se favorezca su proceso formativo. Para ello, la teoría “Matemática en el contexto de las ciencias” se constituye en un referente que permite observar algunos de los aspectos didácticos inscritos en el trabajo de aula, en cursos de matemáticas. En el marco de esta teoría, se asumieron los planteamientos de Javaroni y Soares y (2012) y de Bissell y Dillon (2000) para integrar al aula de clase el uso y análisis de modelos matemáticos. 2.1 Algunas consideraciones acerca de la formación de los ingenieros Una vez reconocido que, un ingeniero es aquel que mediante los recursos disponibles y sus conocimientos puede participar de manera activa en el desarrollo de la sociedad, y que existen algunas necesidades de carácter didáctico para lograr sus objetivos de formación; se hace necesario mencionar algunos aspectos importantes que fueron tratados en la reunión “El ingeniero Colombiano del año 2020. Foros Preparatorios - XXVI Reunión Nacional, 2006”, mostrar las Matemáticas en el Contexto de las Ciencias como 27 una teoría que apoya los aspectos metodológicos que promuevan una articulación de las matemáticas a las necesidades formativas de los futuros ingenieros, en particular y el papel de la estrategia de análisis de modelos matemáticos en dicha articulación. Entre los aspectos tratados en la reunión se considera pertinente mencionar aquellos relacionados con el rol del profesor en la formación de los ingenieros, las características que debe poseer un ingeniero, algunas competencias básicas definidas para pruebas Saber PRO 3 , algunas destrezas o habilidades mentales que debe poseer un ingeniero y las estrategias que a largo plazo serán tenidas en cuenta con el fin de alcanzar el desarrollo de dichas competencias y habilidades desde los ámbitos curricular y docente. En la reunión se consideró que el profesor deberá estar en capacidad de proporcionar contextos que faciliten el aprendizaje, esto mediante el uso de estrategias que permitan y faciliten la construcción del conocimiento. A continuación se mencionan diferentes características o fortalezas de los profesionales en áreas afines a la ingeniería, algunas competencias profesionales de acuerdo a las pruebas Saber Pro y diferentes habilidades mentales que deben poseer los estudiantes de estos programas, que fueron consideradas de gran importancia en la reunión en cuestión: Algunas de las características en las cuales un profesional en áreas afines a la ingeniería debe ser fuerte son: 3 Saber Pro es una evaluación externa de la calidad del sistema educativo en el nivel de la educación superior. 28 • Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas. • Capacidad de aplicar conocimientos en la práctica. • Capacidad de aprender y actualizarse. • Capacidad para tomar decisiones. • Capacidad de abstracción, análisis y síntesis En los lineamientos para las pruebas aplicadas en 2005 (SABER PRO), se plantearon las siguientes competencias profesionales esenciales para los profesionales en áreas afines a la ingeniería: • Capacidad para modelar fenómenos. • Capacidad para resolver problemas mediante la aplicación de las ciencias naturales (física, química, biología) y las matemáticas, utilizando un lenguaje lógico y simbólico. • Capacidad para comunicarse efectiva y oportunamente en forma escrita, gráfica y simbólica. De las destrezas o habilidades mentales que deben poseer los estudiantes para enfrentar el futuro, se mencionan algunas como se presenta a continuación: • Destrezas de aprendizaje independiente e interdependiente para toda la vida. • Habilidades de pensamiento crítico y creativo para la solución de problemas. • Habilidades o competencias para el trabajo interpersonal y el trabajo en equipo. • Competencias comunicativas. • Integración del conocimiento disciplinar. 29 Después de reconocer estos aspectos se planteó en "El ingeniero Colombiano del año 2020. Foros Preparatorios - XXVI Reunión Nacional, 2006”, algunas estrategias que a largo plazo podrán permitir que las instituciones puedan ofrecer ingenierías de calidad. Entre las estrategias planteadas se considera necesario mencionar las del ámbito curricular y el ámbito de los docentes, las cuales se presenta a continuación en la tabla 1: Tabla 1. Estrategias para ofrecer Ingenierías de Calidad Curricular Docente • El estudiante es el centro del proceso de enseñanza-aprendizaje. • Revisión de los currículos. • Formación sólida en matemáticas y ciencias naturales. • Capacidad de comunicación oral y escrita. • Conocimientos y habilidades en las nuevas tecnologías. • Flexibilización del currículo. • Interdisciplinariedad y efectividad. • Nuevos contextos de aprendizaje. • Reconocimiento de la profesión de profesor de ingeniería • El profesor de ingeniería debe ser un gestor del conocimiento, trabajar en equipo, tener habilidades comunicativas, ejercer un gran liderazgo, tener sentido de la profesión y manifestar siempre un comportamiento ético. • Conocimientos actualizados en el área propia. • Capacidades pedagógicas. • Experiencia práctica. • Espíritu de búsqueda e innovación. 30 Camarena et al. (2013), apoyada en otros autores, ha señalado que algunos de los objetivos de la formación de ingenieros son: generar profesionales que posean conocimientos basados en la física, química y matemáticas; capacidad para manejar información técnica y estadística; capacidad para resolver problemas técnicos; desarrollar y emplear modelos que simulen el comportamiento del mundo físico; también capacidad para comunicarse y emprender proyectos. Conforme se ha mencionado hasta aquí en la educación de ingenieros en Colombia (esta incluye la formación de tecnólogos) se resaltan aspectos de interés como las matemáticas y las ciencias básicas, la necesidad de generar una articulación entre estas para colaborar con el desarrollo de algunas capacidades, las características del profesor para mediar en dicha articulación, la importancias de producir y utilizar modelos, las acciones a nivel curricular para el logro de los objetivos y la necesidad del uso de contextos como una manera didáctica de acercarse a diferentes dimensiones cognitivas. Estas y otras características son contempladas por Camarena en su teoría, la cual se presenta a continuación. 2.2 Matemática en el contexto de las ciencias (MCC) En consecuencia a lo expuesto se plantea las MCC como una estrategia que integra muchos de los aspectos mencionados, debido a la amplitud de la teoría. De acuerdo con Camarena et al (2013) mediante la aplicación de la teoría se provee a los estudiantes con las herramientas necesarias para enfrentar de manera exitosa diversos problemas donde se requiera capacidad analítica. La autora sostiene que también se mejoran muchas habilidades 31 de las requeridas para generar el aprendizaje de las matemáticas, tales como el tránsito entre diferentes registros de representación, las estrategias en la resolución de problemas, los proceso argumentativos, el desarrollo de habilidades para identificar puntos de control y regularidades, además que es posible generar hábitos de trabajo individual y en equipo, en general que los futuros profesionales se acerquen a la solución de problemas reales y que todo esto garantiza una formación sólida de los estudiantes. Según la autora en el trabajo con la MCC se genera que el estudiante asuma un papel activo y protagónico y el profesor se convierte en un facilitador de la apropiación de los conocimientos. Camarena (2009) reconoce un problema relacionado con el aprendizaje de las matemáticas, ya que generalmente no es del agrado de los estudiantes, o simplemente aún son reconocidas como una disciplina difícil y apartada de las personas por estar desconectadas de la vida cotidiana (Angulo, 2013; Kistemann Jr, 2012; Camarena 2013). Camarena (2009) afirma que el desconocimiento de la utilidad de las matemáticas en los programas de formación, le resta motivación al estudiante hacia estas, y sumado a esta situación los objetivos formativos de los programas académicos mencionan que los egresados deberán poseer una serie de habilidades. Sin embargo, no se especifica cómo puede esto lograrse. La autora sostiene que dicha problemática puede estar determinada por factores de tipo social, económico, curricular (que se asocian con la didáctica) y también los referidos a las habilidades de los estudiantes. Por otro lado la investigadora reconoce que puede existir un conflicto desde el punto de vista cognitivo, debido a que los estudiantes reciben de manera desarticulada sus 32 cursos de matemáticas y de ingeniería, lo que genera dificultades en la matematización de los fenómenos y otros eventos. Como una manera de atender a esa realidad, emergen en los años 80’s el constructo teórico “La matemática en el contexto de las ciencias”. Este constructo reflexiona sobre la relación entre las matemáticas y las ciencias que la requieren entre las matemáticas y los problemas de la actividad laboral, las matemáticas y la vida profesional y cotidiana, (Camarena 2009; Camarena y Urista, 2007). De acuerdo con Camarena et al, (2013) y Camarena (2009) el constructo se basa en tres principios: • La matemática es una herramienta de apoyo y materia formativa. • La matemática tiene una función específica en el nivel superior (en particular puede verse como un soporte para el desarrollo científico y tecnológico) • Los conocimientos nacen integrados. De acuerdo con Camarena esta teoría se propone que el estudiante pueda llevar los “conocimientos adquiridos” en matemáticas a las otras ciencias o contextos para favorecer, de esta manera, las competencias laborales y profesionales (Camarena, 2005, Camarena y Urista, 2007; Camarena, 2009). Sin embargo, es posible pensar que los conocimientos puedan adquirirse de manera articulada a los contextos propios del ingeniero en formación. Cabe aclarar que cuando en esta investigación se use el término competencias será sinónimo de términos como habilidades, destrezas, capacidades. Como se ha mencionado a través del texto las matemáticas median el desarrollo de tales capacidades. La Matemática en el contexto de las ciencias contempla cinco momentos: 33 • Curricular, desarrollado desde el año 1984. • Didáctica, iniciado desde el año 1987. • Epistemológica, abordado en 1988. • Formación docente, definido en 1990. • Cognitivo, estudiado desde 1992 Para Camarena (2009) es claro que en el aula se presentan de alguna manera los cinco momentos y que además estos interactúan entre sí. Sin embargo para exposición formal de la teoría, esta debe ser fragmentada en los cinco momentos mencionados. A continuación se hace una breve descripción de cada momento de acuerdo a lo explicado por Camarena (2009): Momento curricular […] posee una metodología denominada dipcing —diseño de programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería, […] fundamentada en el paradigma educativo que considera que con los cursos de matemáticas el estudiante poseerá los elementos y herramientas que utilizará en las materias específicas de su carrera (Camarena, 2009, p 17). Con el fin de dar cumplimiento a las pretensiones de este momento de la teoría, se contempla aspectos de interés como: el análisis de los contenidos matemáticos de los cursos y el reconocimiento de las competencias requeridas por el profesional. 34 La autora sostiene que la metodología de este momento de la teoría puede propiciar la vinculación entre las matemáticas y las demás asignaturas, tanto las básicas como las específicas de la ingeniería, y estas a su vez con los diferentes niveles profesionales como: el nivel de posgrado y la industria. Momento de formación de profesores De acuerdo con la autora este momento busca vincular las asignaturas de las matemáticas con otras disciplinas propias del programa de formación. Se contemplan algunas categorías cognitivas de interés a considerarse en los docentes de matemáticas para nivel universitario: conocimiento del programa de formación para el cual sirve sus cursos, conocimientos en el uso de la tecnología para apoyar el aprendizaje y conocimientos sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Momento epistemológico De acuerdo con Camarena se ha encontrado que la mayoría de las matemáticas que se estudian en las asignaturas surge en el contexto de problemas de otras áreas del conocimiento, que al final estos pierden el contexto y conllevan al ofrecimiento de una matemática más abstracta. Camarena sostiene que la matemática en el contexto de las ciencias permiten que: Con la matemática en el contexto de las ciencias se muestra que así como los contextos de otras ciencias le dan sentido y significado a la matemática, ésta a su vez le da sentido y significado a los temas y conceptos de las ciencias del contexto [...]. (2009, p. 17). 35 Este momento además contempla el diseño de actividades enmarcadas en contextos de interés para ser llevadas al aula de clase. Momento cognitivo De acuerdo con Camarena (2009) “se ha verificado a través de la matemática en contexto que el estudiante puede lograr conocimientos estructurados y no fraccionados, y con ello estructuras mentales articuladas” (p. 23). Este momento, la teoría considera la importancia de que el estudiante transite entre los diferentes registros de representación como el aritmético, algebraico, analítico, visual y contextual para construir conocimiento. También la autora considera que la teoría refuerza el desarrollo de habilidades del pensamiento al estudiar situaciones vinculadas a los intereses formativos del futuro profesional, adicionalmente las investigaciones rescatan que la teoría favorece el desempeño académico y profesional, debido a la estimulación del factor motivacional del estudiante. Momento didáctico Aquí se muestra el proceso metodológico para lograr el desarrollo de competencias y habilidades matemáticas que permitirá posteriormente la posibilidad de que el estudiante emplee los conocimientos adquiridos en otras áreas. Camarena et al. (2013) citando a Niss (2003) afirman que las MCC, […] contribuye en la adquisición de las siguientes habilidades: a) pensar matemáticamente; b) plantear y resolver problemas matemáticos; c) modelar 36 matemáticamente; d) argumentar matemáticamente; e) representar entidades matemáticas (situaciones y objetos); f) utilizar los símbolos matemáticos; g) comunicarse con las matemáticas y comunicar sobre matemáticas y h) utilizar ayudas y herramientas (incluyendo las nuevas tecnologías). (p. 401). La investigación que se reporta en este documento se enfocó principalmente en el momento didáctico, dado que su objetivo era analizar como los estudiantes daban sentido a los modelos mediante su análisis, por tanto, se profundizará un poco más en este momento. En relación con el momento didáctico, Camarena (2011) señala que en esta fase se incluye una propuesta didáctica llamada la Matemática en Contexto, la cual propicia el aprendizaje de las matemáticas, en los contextos de otras asignaturas que cursa el estudiante y además contribuye con el desarrollo de habilidades en modelación. Según la autora los resultados derivados del uso de la fase didáctica pueden variar en función del diseño de la actividad didáctica. Sin embargo, se reporta un mejor desempeño para aplicar el conocimiento matemático a otras áreas de la profesión. La Matemática en Contexto contempla nueve etapas, que se desarrollan en el ambiente de aprendizaje. Estas etapas son: 1. Determinación de los eventos o problemas matemáticos contextualizados. 2. Planteamiento del evento o fenómeno contextualizado. En estas etapas se presenta una matemática contextualizada en las áreas del conocimiento de la profesión en estudio, en actividades de la vida cotidiana, profesional y 37 laboral y puede ser a través de proyectos o problemas (Camarena 2009). Camarena et al. (2013) afirma que en esta etapa debe considerarse el análisis de los temas de las asignaturas que cursa el estudiante para determinar los eventos contextualizados, además determinar su vinculación con la industria para contextualizarlos en la actividad laboral y profesional. 3. Determinación de las variables (dependientes, independientes y controladas) y las constantes del problema. En esta resulta importante la determinación de las variables implicadas en el desarrollo de fenómeno que es objeto de estudio, lo que puede hacerse si se analiza el fenómeno, apoyándose en la teoría existente acerca del tema o bien puede hacerse a partir de un modelo matemático existente. 4. Inclusión de los temas y conceptos matemáticos para abordar el desarrollo de la modelación y su solución, así como los temas indispensables de las disciplinas del contexto. Es importante que los temas y los conceptos matemáticos puedan ser trabajados en concordancia con el nivel que cursan los estudiantes que participan del desarrollo de las actividades y además se considera que algunos conceptos nuevos pueden resultar durante el trabajo. 5. Determinación de un modelo matemático. De acuerdo con la autora esta es la etapa central de la teoría. Sin embargo en esta etapa se pone en consideración la importancia de reconocer, usar y analizar modelos ya existentes. 6. Solución matemática del problema. 38 7. Determinación de la solución requerida por el problema en el ámbito de las disciplinas del contexto. 8. Interpretación de la solución en términos del problema y áreas de las disciplinas del contexto. 9. Descontextualización de los conceptos y temas a tratarse en el curso. (Camarena 2009) Camarena (2013) reconoce que el desarrollo de estas etapas requiere una planeación didáctica por parte del profesor y el diseño de algunas actividades, y que esta planeación requiere considerar elementos como: tránsito entre los diferentes registros de representación, tránsito del lenguaje natural al matemático y viceversa, desarrollo de habilidades heurísticas, metacognitivas, del pensamiento, argumentativas, para conjeturar y partir de supuestos, y bloqueo de creencias negativas, búsqueda de analogías; identificación de nociones previas, desarrollo de habilidades operativas de los conceptos matemáticos; uso de la tecnología como mediadora en el aprendizaje. Estos elementos serán considerados durante el diseño de las actividades propias del trabajo de investigación. Según Camarena et al. (2013), la contextualización se da en las etapas 2, 3, 5, 6, 8 y así se posibilita que se vinculen las matemáticas a las otras ciencias y materias específicas de las carreras. Camarena destaca la importancia de las preguntas que realizan los estudiantes durante el desarrollo de las actividades y el acompañamiento del profesor para que los estudiantes encuentren soluciones. Con respecto a la modelación matemática Camarena (2009) identifica algunas de las habilidades mentales que el estudiante manifiesta durante el desarrollo de las 39 actividades, las cuales pueden fungir como elementos a tener en cuenta a la hora del diseño de actividades: • Identificar los puntos de control de error como elemento metacognitivo; lo que implica que el estudiante busque informaciones, incongruencias y demás elementos que le permitan determinar si sus respuestas o procedimientos satisfacen el problema planteado. • Transitar del lenguaje natural al lenguaje matemático: esto de acuerdo a las formas de presentar la situación problema, que puede ser con enunciado literal, con enunciado evocador y con enunciado complejo. • Aplicar heurísticas como estrategias para abordar un problema, que hace referencia a la manera de resolver los problemas al ir avanzando; por ejemplo cuando se hacen preguntas que facilitan el desarrollo de la resolución como las siguientes: ¿con qué se cuenta?, ¿qué se pregunta?, ¿qué tipo de datos se tiene?, ¿hay condicionantes?, ¿cuáles son variables en el problema y cuáles son constantes?, ¿se podrá ver para casos particulares y después resolverlo para cualquier caso?, ¿qué problema ya resuelto se parece a éste?, ¿cuál es la generalización del problema para determinar si es más fácil de abordar?, ¿qué analogías o semejanzas pueden encontrarse con otros problemas?, ¿se puede plantear de diferente forma para poder abordarlo? • Identificar regularidades, esto cuando se analizan tablas o gráficos. • Transitar entre las diferentes representaciones de un elemento matemático, tales como: aritmética, algebraica, analítica y visual. 40 • Hacer consideraciones o idealizar el problema (cuando proceda). Esto se considera debido a que hay problemas que son muy complejos y se debe hacer idealizaciones para resolverlos, como por ejemplo controlar variables. Con respecto al seguimiento del desempeño del estudiante Camarena et al. (2013), presenta la siguiente Tabla: Tabla 2. Evaluación del desempeño al establecer una propuesta didáctica basada en la fase didáctica de las Matemáticas en el Contexto de las Ciencias Competencia matemática específica Capacidad evaluable Pensar matemáticamente Descubrir regularidades Utilizar la inducción como estrategia de resolución de un problema. Plantear y resolver problemas matemáticos Traducir al lenguaje algebraico los enunciados verbales de problemas. Interpretar el resultado de un problema en el contexto en que se enunció. Perseverar en la búsqueda de soluciones. Comprobar la validez del resultado del problema. Utilizar los símbolos matemáticos Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad, relación o regularidad. Tránsito entre diferentes representaciones matemáticas. Aplicar las técnicas de manipulación de expresiones algebraicas. Comunicarse con las matemáticas y comunicarse sobre matemáticas Precisión del lenguaje utilizado para expresar las estrategias y razonamientos utilizados en la resolución del problema. 41 La autora comenta que apoyándose de otros marcos teóricos es posible explicar los fenómenos que ocurran en el aula, durante el desarrollo del trabajo (v.g. aprendizaje significativo de Ausbel). Estos marcos teóricos deben guardar relación con la modelación, las habilidades matemáticas y las acciones llevadas a cabo por los estudiantes para explicar, conceptualizar o resolver situaciones particulares. Camarena et al. (2013) sostiene que el objetivo del trabajo de aula basado en la teoría de las MCC es colaborar para que los estudiantes adquieran competencias matemáticas. En otras palabras logren la capacidad de resolver problemas de su ámbito de formación como profesionales. En resumen el propósito de la teoría está centrado en el mejoramiento del desempeño matemático del estudiante y la adquisición de la competencia matemática. Lo que puede verificarse mediante el tránsito entre los diferentes registros de representación el análisis de procesos argumentativos y la capacidad para identificar puntos de control y regularidades (Camarena et al., 2013). Aunque como ya se mencionó anteriormente esta investigación pretende, que el aprendizaje se encuentre articulado a los contextos del programa de formación, y como se explicó antes, la autora sostiene que la elaboración del modelo matemático es la etapa central de la teoría. Sin embargo, algunos de los análisis, reflexiones e interpretaciones de los estudiantes se dan después de construir el modelo matemático, y como se ha encontrado en la literatura, uno de los inicios para aprender modelación es estudiar modelos matemáticos ya existentes. El siguiente apartado tratará de señalar la importancia del análisis de los modelos matemáticos. 42 2.2 Uso y análisis de modelos matemáticos en Educación: una estrategia en el estudio de las matemáticas. Muchos de los principios o leyes que describen el comportamiento del mundo físico son proporciones o relaciones que determinan la variación de un fenómeno descrito, y por lo general, la modelación de esos fenómenos tiene como resultado ecuaciones, en las cuales se puede encontrar que a través de variaciones en las cantidades (variables), se puede manipular teóricamente el fenómeno (Javaroni y Soares, 2012; Biembengut y Hein, 2004). De aquí que se destaca la importancia de diferenciar cuáles son los términos constantes y variables en un modelo matemático, además: se puede establecer sus intervalos de variación. Según Machado (1988) (citado por Javaroni y Soares 2012), las ecuaciones encontradas cuando se solucionan problemas, buscan responder diversas preguntas, que pueden estar planteadas implícitamente en un fenómeno abordado, y según Javaroni y Soares (2012) responder a estas preguntas involucra no solo la solución de las ecuaciones encontradas, sino también el análisis de la manera en que se comportan dichas soluciones. Javaroni y Soares (2012) basándose en el trabajo de Kallaher (1999) señalan que cuando la matemática se limita a los aspectos algebraicos de la resolución de ecuaciones, los estudiantes manifiestan dificultad en el entendimiento de las soluciones halladas en contextos particulares, de allí que las autoras sugieran que los problemas sean abordados inicialmente de modo cualitativo, es decir, que más allá de las soluciones analíticas, se promueve las interpretaciones de los estudiantes. Con base en estas consideraciones, los estudiantes deben pasar por experiencias en sus aulas de clase en donde puedan generar 43 miradas, análisis e interpretaciones de los contextos a través de las matemáticas. Es por esta razón, que el análisis de modelos se puede convertir en una actividad que al interior del aula de clase se articula a las experiencias anteriormente mencionadas. Considerar la posibilidad de que el análisis de modelos matemáticos se constituya en una actividad en las clases de matemática de un programa de formación en ingeniería, puede argumentarse a partir de los resultados de investigaciones realizadas en otros campos. Según Soares (2015) los estudiantes logran apropiarse del modelo matemático, es decir logran emplear el modelo para comprender y explicar diferentes situaciones, para encontrar inconsistencias y regularidades, comprender fenómenos e interpretarlos y en algunos casos es posible generar predicciones. La autora considera que también puede lograrse la discusión de nuevos conceptos matemáticos al relacionarse con una situación real, se logra la comprensión del fenómeno, los estudiantes enfrentan modelos realistas durante su vida académica sin saber toda la matemática que su construcción exige. Según la autora la relevancia de este hecho es que se comprende la utilidad de las matemáticas en su área de formación y los estudiantes pueden desarrollar algunas competencias de modelación como para la interpretación de resultados en término del fenómeno y de las otras áreas, también la capacidad de matematizar mejora debido a que se comienza por examinar las limitaciones y hacer modificaciones al modelo para crear uno mejor o mejorar su funcionamiento. Soares y Javaroni (2012) y Soares (2012) señalan que el principal objetivo del análisis de modelos es proponer el estudio de modelos matemáticos mediante sus ecuaciones y soluciones, para posteriormente discutirse los conceptos matemáticos que se 44 vinculan a dicho modelo. Por su parte, Narro (1996) señala que un modelo es el resultado de la elección de objetos y símbolos que representan una situación y su naturaleza depende de los elementos que se elija para conformarlo. La autora considera que “el modelo puede ser un dibujo, una fotografía, un mapa, una gráfica, una red, etc., o expresiones matemáticas” (p. 185). Al pensar en la solución de un modelo o ecuación, que está vinculado a un fenómeno, la visualización del fenómeno juega un papel importante para la comprensión de todo lo que envuelve su solución, ya que puede hacerse deducciones acerca del comportamiento de la solución, sin que necesariamente se haga una determinación algebraica, hecho que se facilita con el uso de diferentes herramientas tecnológicas. Soares y Javaroni (2012) destaca la visualización como aspecto relevante para el desarrollo de las actividades propuestas para la intervención en el aula de clase, para lo cual la tecnología puede resultar de gran utilidad de acuerdo con lo encontrado por Soares (2015), y también señala que, la visualización de un fenómeno en un gráfico, aporta informaciones no percibidas por los estudiantes cuando se presentan soluciones meramente matemáticas. Entonces es posible que al observar un gráfico se generen interpretaciones más coherentes a los resultados que cuando el resultado es meramente numérico por ejemplo. En coherencia con lo anterior, el análisis de modelos exige una transición entre soluciones visuales y analíticas, ya que las representaciones ayudan a encontrar lo que no se percibe en las ecuaciones o modelos (Javaroni y Soares 2012, Soares 2012). Como consecuencia de este hecho, el análisis de los modelos puede generar un ambiente de discusión, en el cual la orientación del profesor juega un papel fundamental en las 45 conclusiones generadas después de las interpretaciones de los estudiantes. El tránsito entre las representaciones matemáticas y no matemáticas también es considerado por Camarena (2012) en algunas de las etapas de su teoría y es visto como un elemento de importancia a la hora del diseño de las actividades enfocadas en el desarrollo de capacidades argumentativas y del pensamiento que permitan hacer conjeturas y partir de supuestos. Javaroni y Soares y (2012) sostienen que a pesar de que la elaboración del modelo matemático es relevante, en algunas de las perspectivas de modelación, esto no es lo más importante, sino que puede ser más importante el camino recorrido por el estudiante para representar matemáticamente un fenómeno y esto puede verse de manera invertida, es decir, cómo el estudiante puede comprender un fenómeno mediante el análisis de su modelo matemático. Esta investigación reporta cómo el análisis de modelos promovió la comprensión de los fenómenos. Convergentemente, Bissell y Dillon (2000) considera que es posible que muchas de las prácticas educativas precisen de generar vínculos más fuertes entre los procedimientos matemáticos y las matemáticas que emplean los ingenieros, debido a que al parecer se centra la atención en los detalles matemáticos y no, en los del sistema estudiado con un modelo. Además estos autores consideran que los ingenieros usan los modelos para entender sistemas y que esto se puede hacer, ya sea a través de ecuaciones, gráficos, diagramas etc., es decir: el modelo no es autónomo, sino que se convierte en un punto de partida para referirse a los fenómenos que se representan. En el uso y análisis de modelos hay varios tipos de comprensión, se comprende el fenómeno estudiado y también se comprende las representaciones matemáticas y los 46 objetos matemáticos. Para lograr que el estudiante alcance el objetivo de comprender es necesario el desarrollo de diversas habilidades del pensamiento. Según Camarena (2005) el desarrollo de estas habilidades permite la comprensión de las ciencias y estas a su vez permiten desarrollar las habilidades del pensamiento del estudiante. De acuerdo con Romo- Vázquez (2014) y Romo-Vázquez y Castela (2010) durante el uso de los modelos matemáticos es posible reconocer las necesidades matemáticas que surgen durante dicho uso, Romo-Vázquez (2014) sostiene que un ingeniero rara vez crea un modelo, que es más común que seleccione uno estándar, con soluciones conocidas y lo adapte o modifique ligeramente antes de emplearlo. Sin embargo: este proceso no es sencillo, pues implica conocer el modelo y el proceso o fenómeno al cual va adaptarse. Se suscita la posibilidad de que usar y analizar modelos, pueda emerger como uno de los primeros pasos antes de llevar a cabo proceso de modelación y creación de modelos matemáticos. De acuerdo con Romo-Vázquez (2014) “el proceso de modelización es comúnmente incremental, es decir, consiste en una afinación de modelos existentes hecha sobre la base de la experiencia y de la práctica, incluyendo lo que resulta de los fracasos de la modelización”. (p. 322). En la elaboración de modelos puede ser útil analizar modelos ya creados como punto de partida (Bissell y Dillon 2000), puesto que puede permitir que una vez identificadas las variables y otros parámetros se pueda comprender su influencia en el comportamiento o la solución del fenómeno y esto es una de las acciones de modelar (Javaroni y Soares y 2012), según Dolores y Cuevas (2007) citadas por Villa-Ochoa (2011) 47 una manera interesante para analizar el comportamiento de un modelo es detectar tendencias y hacer comparaciones mediante las gráficas que los representan. Javaroni y Soares (2012) han resaltado que el análisis de modelos ofrece otras posibilidades para la actividad en la que el estudiante esté involucrado, entre ellas, las autoras señalan: el estudio del fenómeno en cuestión, estudio de hipótesis para la elaboración del modelo, estudio del comportamiento de las soluciones del modelo (relacionando este comportamiento con el fenómeno y las hipótesis generadas para su construcción), comprensión de cada término en el modelo, estudio de la influencia de los parámetros del modelo, generalizar, detectar tendencias y analizar cómo influiría alguna intervención en el fenómeno además de las limitaciones del modelo. Romo-Vázquez y Castela (2010) consideran la importancia de la simulación en los procesos de uso de modelos, puesto que permite analizar respuestas del modelo ante diferentes entradas de valores, lo que facilita hacer estimaciones y evaluar intervalos de valores que puedan emplearse; lo que hace probable que se atienda a diferentes necesidades desde el punto de vista matemático y del contexto. Además es factible que mediante estas actividades se facilite que los estudiantes respondan ante diferentes interrogantesen términos del contexto del problema. Si bien el análisis no implica modelar (como construcción o producción de modelos), sí considera muchas de las actividades que se llevan a cabo al modelar, como por ejemplo: determinación de variables, construcción e interpretación de gráficos, análisis de datos, reconocimiento de conceptos tanto matemáticos como de los contextos de formación stc, e implica la integración de las matemáticas como herramienta para la comprensión de 48 diversos fenómenos Así por ejemplo, Ochoa Martínez (2005) retomando el trabajo de Barat (1998), reconoce la importancia de conocer fundamentos relacionados con otras ciencias mientras analizan modelos matemáticos para entender un fenómeno particular. Las actividades señaladas por Bissell y Dillon (2000), Javaroni y Soares y (2012), Romo-Vázquez y Castela (2010) y Romo-Vázquez (2014) contribuyen para que los estudiantes comprendan diversos conceptos matemáticos y, a su vez, desarrollen habilidades que les permitan enfrentarse a su futuro desempeño académico y profesional. Según Javaroni y Soares (2012) algunos conceptos como la derivada pueden ser mencionados en el inicio de un curso y tomados a profundidad a lo largo del análisis de un modelo matemático inscrito en una situación particular, bajo esta perspectiva el análisis de modelos pueden facilitar la introducción de diversos conceptos matemáticos de una manera natural. En relación al uso de los modelos matemáticos es importante presentar algunas consideraciones aportadas por Bissell y Dillon (2000) que a manera de resumen logran vincular el análisis de modelos con las habilidades requeridas para su uso. Dicho resumen se