Vol. 15 (núm 1) pp. 155 - 170
Enero - Junio 2024

https://doi.org/10.19053/01217488.v15.n1.2024.16237

Una revisión a las geometrı́as de Zariski uno–dimensionales
A review of one-dimensional Zariski geometries

Joel Torres del Valle1∗, Pedro Hernandez Rizzo2∗∗.

Resumen

En este artı́culo, realizamos una revisión de las geometrı́as de Zariski de dimensión uno. Comenzamos con una breve
retrospectiva de conceptos clave en teorı́a de modelos y su evolución histórica. Luego, introducimos conceptos en geometrı́a
algebraica, explorando la intersección con la teorı́a de modelos para motivar la teorı́a de modelos geométrica. Destacamos
la Conjetura de Tricotomı́a de Zilber y cómo la refutación de Hrushovski condujo a Zilber y Hrushovski a aislar la clase de
estructuras donde la conjetura tiene validez, dando origen a las geometrı́as de Zariski. Concluimos presentando los resultados
obtenidos por Zilber y Hrushovski en los 90s y ofrecemos una revisión bibliográfica actualizada del tema.

Palabras Clave: Geometrı́as de Zariski, teorı́a de modelos, geometrı́a algebraica.

Abstract

In this article, we present a comprehensive review of Zariski geometries of dimension one. We begin with a brief retrospective of
key concepts in model theory and its historical evolution. Subsequently, we introduce concepts in algebraic geometry, exploring
their intersection with model theory to establish geometric model theory. We emphasize Zilber’s Trichotomy Conjecture and
how Hrushovski’s refutation led Zilber and Hrushovski to isolate the class of structures where the conjecture holds, giving
rise to Zariski geometries. We conclude by presenting the results obtained by Zilber and Hrushovski in the 90s and provide an
updated bibliographic review of the topic.

Keywords: Zariski geometry, model theory, algebraic geometry.

Recepción: 15-Julio-2023
Aceptación: 09-Noviembre-2023

1∗ Instituto de Matemáticas, Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: joel.torres@udea.edu.co
2∗∗ Instituto de Matemáticas, Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: pedro.hernandez@udea.edu.co

155

https://doi.org/10.19053/01217488.v15.n1.2024.16237


Joel Torres del Valle y Pedro Hernandez Rizzo.

Introducción

El conjunto An
k de n-tuplas ordenadas de elementos de k,

donde k es un campo algebraicamente cerrado, puede ser
dotado de una topologı́a donde se consideran como cerrados
los conjuntos determinados por las soluciones o ceros de
una familia de ecuaciones polinomiales con coeficientes en
k. Esta topologı́a es llamada topologı́a de Zariski deAn

k . La
geometrı́a algebraica es el área que estudia la geometrı́a que
generan estos conjuntos llamados conjuntos algebraicos. En
1996 E. Hrushovski y B. Zilber en [1] desarrollan el pro-
ceso inverso, esto es, partiendo de un espacio topológico
D, este y todas sus potencias, son dotadas de condiciones
que dependen de su topologı́a de forma que ciertas propie-
dades “geométricas” son satisfechas. A seguir, construyen
un campo algebraicamente cerrado y definen una curva sua-
ve C de tal modo que los puntos (cerrados) de D pueden
ser identificados con los puntos (cerrados) de la curva C y,
de forma más general, que toda colección de subconjuntos
cerrados de D coincide con la colección de subconjuntos
cerrados Zariski de C. En este sentido, Hrushovski y Zilber
caracterizan las estructuras de tales curvas en términos de
la topologı́a de Zariski definida sobre un campo algebraica-
mente cerrado (ver [1, 2] y [3]). Ciertamente, este tipo de
problemáticas han ocupado un lugar importante en las in-
vestigaciones en geometrı́a algebraica, geometrı́a compleja,
topologı́a, topologı́a algebraica, la teorı́a de modelos, etc.
Con ello hacemos referencia, a grandes rasgos, a responder
al tipo de estructuras de las que debemos dotar al espacio
topológico subyacente a un conjunto algebraico X para de-
terminar y “recuperar” toda la información de esta como
variedad algebraica. Ejemplo de este tipo de problemas es
la llamada Conjetura de Grothendieck, hoy conocida como
el Teorema de Voedvodsky [4]. Para casos más simples y
con el uso de otras técnicas recomendamos [5, 6]. Y para
un caso especial, que generaliza a estos últimos trabajos
referenciados, y el avance más reciente sobre este tipo de
problemas, recomendamos el artı́culo de Kollar et al. [7].

A. Pillay (ver [8]) considera [1] como “uno de los (artı́culos)
más importantes en la teorı́a de modelos moderna”. Creemos
que esta afirmación se debe, entre otras cosas, a que en [1] se
aı́sla una amplia clase de estructuras matemáticas donde es
válida la Conjetura de tricotomı́a de Zilber (ver §3) la cual
resultó ser falsa en general, como lo demostró Hrushovski
en [9].

Existen pocas referencias en español donde se trata la im-
portancia y el impacto de los resultados [1] y, mucho menos,
donde se presente para un público no especializado. No des-
conocemos, por supuesto, trabajos en español en donde se
tratan estas temáticas como [10] y [11]. No obstante, es-
te artı́culo a diferencia de los últimos previamente citados,
tiene por objetivo presentar el concepto de geometrı́as de
Zariski, en dimensión uno, y los teoremas que Hrushovski y
Zilber obtuvieron para estas en la década de los 90s. Poste-
rior a ello hacemos una revisión de los trabajos recientes en

el área y las nuevas lı́neas que han surgido. Todo esto sin asu-
mir en el lector una formación sólida en teorı́a de modelos o
en geometrı́a algebraica, por lo que incluimos dos secciones
introduciendo tales temas. Ası́ mismo, pretendemos que este
trabajo sea considerado como una invitación/introducción
a la teorı́a de modelos y sus aplicaciones a la geometrı́a
algebraica.

Ahora daremos una breve descripción del contenido de este
artı́culo. En §1 haremos una breve y rápida introducción a
la teorı́a de modelos y, ası́ mismo, en §2 para la geometrı́a
algebraica. En principio, los temas de §§1-2 no parecen estar
ligados y más bien podrı́an considerarse como transversa-
les. No obstante, tratando de hacer más clara la relación
entre ambas teorı́as, mostraremos en §2 algunas aplicacio-
nes de la teorı́a de modelos a la geometrı́a algebraica. En
§3 presentaremos las geometrı́as de Zariski, ejemplos y sus
propiedades. Por supuesto, mencionamos aquı́ los teoremas
de clasificación obtenidos por Hrushovski y Zilber. A modo
de conclusión, en §4 presentamos algunas de las lı́neas de
investigación recientes en torno a las geometrı́as Zariski.

1. Introducción a la teorı́a de modelos

En esta sección presentamos las definiciones básicas que
serán requeridas para el desarrollo del presente artı́culo. En
§ 1.1 respondemos a la pregunta “¿qué es la teorı́a de mode-
los?”. En § 1.2 definimos lenguaje, teorı́a, modelo, fórmula,
etc. En § 1.3 hacemos un recuento histórico en el que men-
cionamos los resultados que allanan el camino a la teorı́a de
estabilidad geométrica (que tratamos en § 3) y posteriormen-
te a la definición de geometrı́as de Zariski. En este apartado,
también presentamos la forma más elemental en que la teorı́a
de modelos se vale de la geometrı́a algebraica como moti-
vación para § 2. Naturalmente, el tratamiento de los tópicos
de esta sección no es exhaustivo ni mucho menos riguroso.
Recomendamos trabajos como [12, 13] para profundizar en
teorı́a de modelos. En relación a la historia reciente de la
teorı́a de modelos recomendamos [14].

1.1. ¿Qué es, a grandes rasgos, la teorı́a de mode-
los?

La interpretación más aceptada de la teorı́a de modelos es
que es el área de las matemáticas “que estudia la relación
entre las fórmulas matemáticas y las estructuras matemáti-
cas que las satisfacen o rechazan” (véase [15, p. 1]). Sin
embargo, la evolución de la teorı́a ha dado lugar a diversas
interpretaciones acordes a la tendencia de la lı́nea de investi-
gación del momento. Por ejemplo, en 1973 Chang & Keisler
(ver [13, p. 1]) propusieron que la teorı́a de modelos era
“la suma del álgebra universal y la lógica matemática”. Por
supuesto, desde un punto de vista técnico de la “teorı́a de
modelos moderna”, esta interpretación no es del todo pre-
cisa, aunque sı́ lo fue en los inicios tempranos de la teorı́a.
En 1993, en su célebre libro Model Theory, Wilfrid Hodges

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Joel Torres del Valle y Pedro Hernandez Rizzo.

afirmó que la teorı́a de modelos es “geometrı́a algebraica sin
campos” que, desde nuestro punto de vista, es una interpreta-
ción acorde a muchos de los temas que hoy enfrenta la teorı́a
de modelos. Más aún, el tema a desarrollar en este artı́culo
sigue el espı́ritu de la afirmación de Hodges: las geometrı́as
de Zariski proporcionan una forma de ver la geometrı́a des-
de el punto de vista de la lógica matemática sin apelar al
álgebra y, además, la información algebraica se recupera a
partir de algunos datos topológicos.

Finalmente, una interpretación que logra capturar el espı́ritu
de los problemas recientes, fue brindada por Hrushovski:
“la teorı́a de modelos es la geografı́a de las matemáticas
dóciles” (ver [16]) y que serı́a la respuesta (probable) que
darı́a un teórico de modelos. Sin entrar en los detalles de
lo que significan “matemáticas dóciles”, en cualquier caso,
todas las interpretaciones conocidas coinciden en que “la
teorı́a de modelos es, a grandes rasgos, la rama de la lógi-
ca matemática cuyo objeto de estudio son las estructuras
matemáticas”.

1.2. Teorı́a de modelos elemental: Una revisión
rápida

Con el propósito de hacer una breve revisión histórica que
nos permita construir una lı́nea de tiempo que conlleve a
la construcción del concepto de geometrı́as de Zariski, será
indispensable presentar algunas definiciones rigurosas, no
obstante, desprovistas de ciertos tecnicismos. Para un trata-
miento riguroso y técnico recomendamos [12, 13] y [17].

Definición 1.1 Un lenguaje de primer orden L es una co-
lección de sı́mbolos que contiene:

Los sı́mbolos lógicos dados por ∀, ∨, ¬, =.

Un conjunto infinito numerable de sı́mbolos de varia-
bles x,y,u,z,x1,x2, . . ..

Tres colecciones, posiblemente vacı́as, de sı́mbolos no
lógicos determinadas por: una colección de sı́mbolos
de relación n-árias Rn, una colección de sı́mbolos de
función n-árias f n y una colección de sı́mbolos de
constantes.

Para L un lenguaje de primer orden caracterizamos dos
tipos distintos de cadenas de sı́mbolos. A saber, sus términos
y sus fórmulas. Intuitivamente, los términos son las concate-
naciones de sı́mbolos de un lenguaje que nombran objetos.
Por su parte, las fórmulas son, intuitivamente, aquellas ca-
denas de sı́mbolos que expresan afirmaciones. A modo de
ejemplo, consideremos el lenguaje de la aritmética de pri-
mer orden L = {+, ·,≤,0,1}, donde ·,+ son sı́mbolos de
función de aridad dos, 0,1 son sı́mbolos de constantes y ≤
es un sı́mbolo de relación de aridad dos. En este caso, x+ y
y 1+1 son términos y ∀x∃y(x+y = 0) y ∀x(x+y = 0) son
fórmulas. Repare que en la primera de estas fórmulas ambos
sı́mbolos de variables x,y están sujetos a un cuantificador.
Contrario a lo que vemos en la segunda de estas fórmulas

donde el sı́mbolo de variable y es “libre”, esto es, que no está
sujeto a un cuantificador. Estaremos interesados en aquellas
fórmulas donde todas sus variables están cuantificadas y
son llamadas sentencias o axiomas. Intuitivamente, estas
son fórmulas que expresan propiedades globales que ciertos
elementos de un conjunto pueden tener o no. Un conjunto T
de sentencias sobre un lenguaje L es llamado L -teorı́a. Si
el lenguaje es entendido, omitiremos el prefijo L .

Interpretar un lenguaje dentro de un conjunto no vacı́o M
se trata de que los sı́mbolos de relación, función y constan-
tes, se interpreten como relaciones y funciones habituales
sobre el conjunto M preservando su aridad y las constantes
como elementos fijos de M. Volviendo a nuestro ejemplo y
escogiendo a M por el conjunto de los números naturales,
N, el sı́mbolo + se interpreta como la función de aridad 2
que corresponde a la suma de números naturales, · como el
producto de números naturales, ≤ como el orden usual y
0,1 como los elementos neutros para la suma y el producto,
respectivamente. Ahora bien, un conjunto no vacı́o M junto
con las interpretaciones de L , es llamado L -estructura y
si todos los axiomas de una teorı́a T son válidos sobre una
estructura M, diremos que M es un modelo de T . En pocas
palabras, un modelo es un conjunto no vacı́o que con una
estructura especificada valida los axiomas de una teorı́a T .

Ejemplo 1.2 Considere el lenguaje L = /0, es decir, co-
mo aquel que no contiene sı́mbolos no lógicos. Definimos
la teorı́a Inf de conjuntos infinitos sin estructura como el
conjunto (infinito) de axiomas:

∃x1∃x2(x1 , x2).

∃x1∃x2∃x3(x1 , x2 ∧ x1 , x3 ∧ x2 , x3).

...

En este sentido, la sentencia n-ésima expresa que existen n
elementos distintos y el conjunto Inf expresa que hay infini-
tos elementos. Note que un modelo de Inf es simplemente
un conjunto infinito y esta teorı́a no tiene modelos finitos. En
efecto, si M tiene n elementos, con n ∈N, entonces la (n+
1)-sentencia que afirma que existen n+1 elementos distin-
tos, es falsa en M. 2

Ejemplo 1.3 En el lenguaje L = {E} donde E es un sı́mbo-
lo de relación de aridad 2, definimos la teorı́a de relaciones
de equivalencia Equiv por los axiomas:

∀xE(x,x) (reflexividad),

∀x,y(E(x,y)→ E(y,x)) (simetrı́a),

∀x,y,z((E(x,y)∧E(y,z))→ E(x,z)) (transitividad).

Una manera fácil de obtener modelos de esta teorı́a es consi-
derar cualquier conjunto no vacı́o con la relación de igualdad.
En aras de obtener ejemplos no triviales y más interesantes,
consideremos la siguiente construcción: sea C en conjunto
de los números complejos yAn

C=C×·· ·×C (n-veces). Da-
dos x⃗, y⃗ ∈An

C definimos x⃗ ∼ y⃗ si y sólo si existe λ ∈C−{0}

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Joel Torres del Valle y Pedro Hernandez Rizzo.

tal que x⃗ = λ · y⃗. Entonces, ∼ define una relación enAn
C don-

de los axiomas de Equiv se verifican. Esto es, (An
C,∼) es un

modelo de Equiv. 2

1.3. Historia y un recorrido sobre resultados pio-
neros de la teorı́a de modelos

La teorı́a de modelos se estableció formalmente a mediados
del siglo XX y, nos atrevemos a afirmar, que la mayorı́a de
los resultados pioneros se deben a A. Robinson y A. Tarski.
Sin embargo, algunas ideas previas estaban implı́citas en los
trabajos de exponentes como K. Gödel, L. Löweheim y Th.
Skolem. Precisamente, Gödel en [18] presenta resultados
relacionados a la existencia de modelos de teorı́as de primer
orden como, por ejemplo, el Teorema de compacidad. Este
teorema establece, grosso modo, que una teorı́a con infinitos
axiomas definida sobre un lenguaje con una cantidad con-
table de sı́mbolos de constantes admite un modelo si y sólo
si cada subconjunto finito de la teorı́a tiene un modelo. Por
otro lado, Löweheim en [19] demostró que una teorı́a de pri-
mer orden con un modelo infinito tiene un modelo contable.
Empero, en su demostración Löweheim usó implı́citamente
un resultado conocido hoy por Lema de Köning, cuya de-
mostración solo fue publicada posteriormente por D. Köning
en [20]. Por otro lado, en [21], Skolem subsanó lo hecho
por Löweheim y en [22] A. Maltsev mostró una versión
completa y mejorada de este teorema afirmando que, una
teorı́a de primer orden en un lenguaje contable que tiene un
modelo infinito, tiene un modelo de cada cardinal infinito.
Este resultado hoy es conocido con el nombre de Teorema
de Löweheim-Skolem. Asimismo, Maltsev en ibidem, probó
un resultado más general del Teorema de compacidad de
Gödel a los lenguajes no contables y demostró la existencia
de “modelos no-estándar” de la aritmética utilizando este
teorema, siendo el pionero en exhibir el poder del Teorema
de compacidad.

Sean L un lenguaje de primer orden y T una L -teorı́a.
Denotaremos por Mod(T ) la clase de todos los modelos de
T . Teóricamente, la situación ideal es que todo modelo en
Mod(T ) esté determinado (a menos de una cierta noción de
isomorfismo) por un único modelo N (véase la introducción
de [23]). No obstante, esta situación nunca es posible. En
efecto, por el Teorema de Löweheim-Skolem se concluye
que las teorı́as de primer orden no pueden controlar el car-
dinal de sus modelos infinitos. Esto es, si existe un modelo
infinito de una teorı́a de primer orden T , existirán infinitos
modelos de T cuyo cardinal κ es cualquier cardinal infinito.
Denotaremos ahora por Modκ(T ) la clase de modelos de T
de cardinal fijo κ . ¿Está Modκ(T ) determinada (a menos de
isomorfismo) por un único modelo de T ? La respuesta es de
nuevo negativa. Por ejemplo, se pueden construir modelos
contables de la aritmética de primer orden no isomorfos a
los números naturales, los llamados “modelos no-estándar”.
Esto nos lleva a considerar la siguiente situación: llamare-
mos a T κ-categórica si todos los modelos de T con cardinal

κ son isomorfos. R. Vaught demostró en [24], y también de
forma independiente J. Loś en [25], que si T es κ-categórica
y no tiene modelos finitos, entonces T es completa, esto es,
dada una sentencia φ del lenguaje de T , o bien φ o bien
¬φ es teorema de T . M. Morley demostró en [26], que si
T es una teorı́a de primer orden sobre un lenguaje contable
(i.e., el lenguaje contables sı́mbolos de constantes) y es κ-
categórica en algún cardinal infinito y no contable κ , lo es
en cada cardinal no contable. Este resultado es conocido hoy
como Teorema de Morley y habı́a sido previamente conje-
turada por Loś, convirtiendo el Teorema de Morley en una
respuesta positiva a la Conjetura de Loś.

Valga mencionar para cerrar la discusión anterior, que el Teo-
rema de Morley fue generalizado por S. Shelah en [27] para
lenguajes no contables. En resumen, el Teorema de Morley
garantiza que si una teorı́a es categórica en algún cardinal
no contable, será categórica en todos los cardinales no con-
tables. Encontramos ası́ que las teorı́as de primer orden que
son categóricas en cardinales no contables tienen modelos
“bien comportados”, lo que intuitivamente supondrı́a tener
cierto criterio de estabilidad para la teorı́a en cuestión.

1.4. Eliminación de cuantificadores

Considere φ (⃗a, x⃗) una L -fórmula cuyas variables no cuan-
tificadas están en x⃗ = (xi1 , . . . ,xin) y cuyas constantes están
en a⃗ = (ai1 , . . . ,aim). Consideremos φ (⃗a,M) el conjunto de
soluciones de φ (⃗a, x⃗) en un modelo M. Los conjuntos de esta
forma se llaman a⃗-definibles. A modo de ejemplo, considere
φ (⃗a, x⃗) por la fórmula ∃x1∃x2∃x3∃x4(y = x2

1 +x2
2 +x2

3 +x2
4),

entonces el conjunto φ (⃗a,Z) coincide con Z≥0, el conjunto
de los enteros no negativos. En efecto, por un conocido teo-
rema de J. Lagrange, todo entero no-negativo es la suma de
cuatro cuadrados. De esta forma, Z≥0 es definible.

Los conjuntos definibles son una herramienta clave en la
teorı́a de modelos y sus aplicaciones. El problema radica en
que estos conjuntos pueden ser difı́ciles de determinar. No
obstante, cuando φ (⃗a, x⃗) es una fórmula sin cuantificadores,
la tarea es más fácil. Esta discusión lleva a la siguiente
definición.

Definición 1.4 Sea T una L -teorı́a. Si para toda L -fórmu-
la ψ existe una fórmula sin cuantificadores φ en el lenguaje
de T tal que en cualquier modelo de T se valida la fórmula
φ ↔ ψ , decimos que T tiene eliminación de cuantificadores
o que T elimina cuantificadores.

Cuando nos restringimos a los conjuntos definibles, decir
que una teorı́a T elimina cuantificadores, es equivalente a
afirmar que, para cualquier modelo M de T , la función de
proyección canónica πmn : Mm → Mn preserva conjuntos
construibles, es decir, para E ⊆ Mm construible, πmn(E) es
construible. Aquı́ un conjunto es construible si es una com-
binación Booleana de conjuntos definidos por fórmulas que
son igualdades o formadas a partir de relaciones. En efecto,
basta con suponer que el conjunto construible E ⊆ Mm es

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definible por φ (⃗x, a⃗). Luego, πmn(E)⊆ Mn es definible por
∃x1 · · ·∃xm−nφ (⃗x, a⃗), de donde se sigue la afirmación. Ahora
bien, en general, probar la eliminación de cuantificadores
para una teorı́a es a veces una tarea difı́cil y por ello se han
desarrollado muchas técnicas. El ejemplo más relevante es el
trabajo de A. Tarski para el campo complejo (C,+, ·,−,0,1),
que, de hecho, es un ejemplo particular de eliminación de
cuantificadores para campos algebraicamente cerrados. Con-
cretamente, existe una teorı́a de primer orden, que denota-
mos por Acf, en el lenguaje de anillos L = {+, ·,−,0,1}
tal que los modelos de Acf son exactamente los campos
algebraicamente cerrados, i.e., los axiomas de Acf expresan
las propiedades de ser un campo algebraicamente cerrado.
Para esta teorı́a, se vale que dada una fórmula φ , existe una
fórmula ψ sin cuantificadores tal que φ y ψ tienen el mismo
significado en Acf.

La eliminación de cuantificadores y algunas formas débi-
les son técnicas muy importantes en el estudio de teorı́as
algebraicas con teorı́a de modelos. Un ejemplo notable es la
prueba modelo-teórica del Teorema de los ceros de Hilbert
brindada por Robinson y que discutiremos en la siguiente
sección. Recomendamos [15, Cap. 2] para una demostración
de la eliminación de cuantificadores para Acf y varios ejem-
plos más. También se puede consultar el texto [12, Cap. 3]
para una discusión amplia y enriquecedora sobre elimina-
ción de cuantificadores.

La eliminación de cuantificadores desde el punto de vis-
ta de conjuntos construibles tiene un enunciado similar al
Teorema de Chevalley en la geometrı́a algebraica (ver [12,
Corolario 3.2.8 ii)]). De hecho, la eliminación de cuantifi-
cadores para Acf tiene como consecuencia de que los con-
juntos construibles desde el punto de vista descrito arriba
coinciden con los conjuntos construibles desde el punto de
vista de la geometrı́a algebraica. Ası́ las cosas, la elimi-
nación de cuantificadores acabará siendo el análogo en la
teorı́a de modelos del Teorema de Chevalley. En la siguiente
sección abordaremos este tema con más detalles y menciona-
remos varios casos relevantes de demostraciones obtenidas
en geometrı́a algebraica a partir del enfoque de la teorı́a
de modelos, interpretando ciertos fenómenos geométricos
y algebraicos desde el punto de vista de la lógica. En este
sentido, tales resultados serán el abre bocas para la posterior
introducción de la teorı́a de estabilidad geométrica y la tri-
cotomı́a de Zilber, principal motivación de las geometrı́as
de Zariski, al menos, desde el punto de vista clásico.

2. Introducción a la geometrı́a algebraica

En esta sección daremos una mirada rápida a ciertos con-
ceptos básicos de la geometrı́a algebraica. Asimismo, pre-
sentaremos algunos resultados ilustres de la relación de esta
con la teorı́a de modelos, a saber, los Teoremas de Tarski-
Chevalley, Ax-Grothendieck y de los Ceros de Hilbert o
Nullstellensatz; la Conjetura de Mordell-Lang y, finalmen-
te, los trabajos recientes de Zilber. Para profundizar en las

temáticas aquı́ presentadas recomendamos los textos [12] y
[28].

2.1. Conjuntos algebraicos afines

Sea k un campo algebraicamente cerrado. El producto car-
tesiano de n-copias de k, será denotado por An

k . Para cada
I ⊆ k[x1, . . . ,xn], un ideal del anillo de polinomios en n-
variables con coeficientes en k, denotamos por V (I)⊆An

k
el conjunto de ceros de I, esto es,

V (I) := {⃗a ∈An
k | f (⃗a) = 0para cada f ∈ I} .

Es posible demostrar que la colección de los V (I) generan
una topologı́a, conocida como topologı́a Zariski. En esta
topologı́a cada V (I) corresponde a un subconjunto cerrado
deAn

k , llamado conjunto algebraico afı́n. Esta relación de la
geometrı́a deAn

k con conceptos provenientes de la k-álgebra
de polinomios k[x1, . . . ,xn], permite establecer propiedades
interesantes y que distinguen a esta construcción. Precisa-
mente,An

k con la topologı́a Zariski es un espacio irreducible
y Noetheriano. La primera propiedad significa que todo
abierto no-vacı́o deAn

k es denso y la segunda, que para cada
sucesión X1 ⊋ X2 ⊋ . . . de subconjuntos cerrados enAn

k exis-
te un m > 0 tal que Xm = Xm+l , para cada l > 0. Estas dos
propiedades resultan de dos hechos algebraicos importantes
asociados a k[x1, . . . ,xn], a saber, que es un dominio integral
y que es un anillo Noetheriano (i.e., todo ideal es finitamen-
te generado), respectivamente. En aras de generalizar estas
propiedades para cualquier subconjunto algebraico X deAn

k
asociamos a este un ideal en I(X) ⊆ k[x1, . . . ,xn], definido
por

I(X) := { f ∈ k[x1, . . . ,xn] : f (⃗a) = 0, ∀⃗a ∈ X}.

A partir de ahı́, es posible definir una k-álgebra de funciones
regulares sobre X dada por las funciones f : X → k tales
que f = p|X para algún p ∈ k[x1, . . . ,xn]. En realidad, esta k-
álgebra es justamente el cociente k[X ] := k[x1, . . . ,xn]/I(X).
En este sentido, X es un espacio topológico Noetheriano
con la topologı́a de Zariski (inducida), esto es, Y ⊆ X es
cerrado, si Y = V (I) para algún I ideal de k[x1, . . . ,xn] tal
que I(X)⊆ I. Asimismo, X es irreducible si y sólo si k[X ]
es un dominio integral, equivalentemente, I(X) es un ideal
primo de k[x1 . . . ,xn].

En definitiva, las propiedades de Noetherianidad e irredu-
cibilidad en un espacio topológico Noetheriano X implican
que todos sus cerrados Y son expresados como una unión
finita Y = Y1 ∪·· ·∪Ys de cerrados irreducibles Yi únicamen-
te determinados por la propiedad de que Yi ⊈ Yj, para cada
i , j. Los Yi son llamados componentes irreducibles de Y .

Un importante invariante (birracional) en geometrı́a es el
de dimensión. Precisamente, para un conjunto algebraico
irreducible X la dimensión de Krull de X es por definición

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Joel Torres del Valle y Pedro Hernandez Rizzo.

el grado de trascendencia del campo k(X) de funciones ra-
cionales de X sobre k, la cual coincide, no solo con la di-
mensión de X como espacio topológico, sino también con
la llamada dimensión de Krull del anillo de funciones re-
gulares k[X ]. Por ejemplo, An

k tiene dimensión n, ya que
el grado de trascendencia de k(x1, . . . ,xn) sobre k es n. En
general, la dimensión de un conjunto algebraico Y es defini-
da por dimY = supi dim(Yi), donde Yi son las componentes
irreducibles de Y . Por ejemplo, conjuntos algebraicos de
dimensión 1 y dimensión 2, son llamados, respectivamente,
curva y superficie algebraica.

Dado un conjunto algebraico X , la noción de dimensión se
puede “especializar” a cada punto p ∈ X , a saber, podemos
hablar de la dimensión infinitesimal de X en cada uno de sus
puntos al calcular la dimensión, como k−espacio vectorial,
del espacio tangente a X en p, denotado por TX ,p. La di-
mensión (global) de X y la dimensión infinitesimal, pueden
diferir, siendo esta última mayor o igual que la dimensión
del conjunto en sı́. En realidad, el conjunto de puntos de X
donde estas difieren forman un subconjunto cerrado propio
de X , llamado conjunto de singularidades de X . En parti-
cular, en el caso en que X sea una curva, el conjunto de
singularidades es un conjunto finito. Ahora bien, en el caso
en que estas coincidan en cada p ∈ X , esto es, el conjunto
de singularidades es el conjunto vacı́o, X es llamado con-
junto algebraico suave. Un caso especial e importante para
nosotros y al que nos referiremos más adelante es al caso de
curvas suaves.

2.2. El espacio proyectivo

Además de los conjuntos algebraicos afines, históricamente,
uno de los contextos de interés en geometrı́a algebraica son
los conjuntos algebraicos proyectivos. Precisamente, son los
subconjuntos algebraicos X =V (I) del espacio proyectivo
Pn

k . Aquı́Pn
k corresponde al conjunto de rectas que pasan por

el origen de kn+1. De forma equivalente, Pn
k es el conjunto

de clases de equivalencia [x0, . . . ,xn] determinada por cada
vector (x0, . . . ,xn) ∈ kn+1 \0 por la relación de equivalencia:

(x0, . . . ,xn)∼ (y0, . . . ,yn) si y sólo si existe λ ∈ k\0 tal que
yi = λxi para cada i = 0, . . . ,n.

De este modo, un conjunto algebraico proyectivo X =V (I)
es determinado por un ideal de k[x0, . . . ,xn] finitamente ge-
nerado I = ⟨ f1, . . . , fm⟩ donde los polinomios fi son ho-
mogéneos, esto es,

fi(λx0, . . . ,λxn) = λ deg( fi) fi(x0, . . . ,xn), para cada
i = 1, . . . ,m.

En este sentido los V (I), ası́ definidos, generan una topologı́a
conocida como la topologı́a Zariski del espacio proyectivo
Pn

k y en ella cada subconjunto algebraico afı́n X de An
k

corresponde a un conjunto algebraico proyectivo X , de la
misma dimensión que X , pero con puntos “en el infinito”.
Precisamente, cada X corresponde a la clausura de X en

Pn
k , donde los nuevos puntos surgen por la intersección de

X con el hiperplano en el infinito, H∞, que es identificado
con Pn−1

k . Por ejemplo,An
k = P

n
k el cual es identificado con

An
k ⊔P

n−1
k . En particular, P1

k =A
1
k ⊔{∞} y ası́ Pn

k es consi-
derada como la “compactificación” deAn

k . De este modo, en
este nuevo contexto, se pueden considerar curvas algebrai-
cas proyectivas suaves, como aquellos conjuntos algebraicos
proyectivos de dimensión 1 que son suaves, siguiendo gene-
ralizaciones naturales de los conceptos para el caso afı́n al
caso proyectivo.

2.3. La teorı́a de modelos en la geometrı́a algebrai-
ca

A continuación presentamos algunos ejemplos destacables
de cómo la teorı́a de modelos interactúa con la geometrı́a
algebraica.

2.3.1. El Teorema de Tarski – Chevalley

Un conjunto E ⊆An
k es algebraicamente construible si es

una combinación Booleana de conjuntos cerrados de Zaris-
ki. Una consecuencia de la eliminación de cuantificadores
para Acf es que un conjunto es algebraicamente construi-
ble si y sólo si es construible en sentido modelo-teórico
(véase la discusión posterior a la Definición 1.4). El Teore-
ma de Chevalley, en el contexto de la geometrı́a algebraica
afı́n, afirma que si k es un campo algebraicamente cerrado
y πmn :Am

k →An
k , con m ≥ n, es un morfismo de proyec-

ción, para cualquier conjunto algebraicamente construible
E ⊆ Ak, πmn(E) es algebraicamente construible. Ası́, la
eliminación del cuantificadores de Tarski para campos alge-
braicamente cerrados puede verse como una versión modelo-
teórica del Teorema de Chevalley y viceversa. Es por esto
que usualmente a éste teorema se le conoce como Teorema
de Tarski-Chevalley.

2.3.2. El Teorema de Ax-Grothendieck

El Teorema de Ax-Grothendieck afirma que todo morfismo
polinomial inyectivoCn →Cn es, en realidad, una biyección.
Este teorema fue demostrado por A. Grothendieck en [29,
Teo. 10.4.1] y modelo-teóricamente (e independientemente)
por James A. en [30]. La demostración de Ax está basada
en el hecho modelo-teórico de que las siguientes dos con-
diciones son equivalentes para cualquier sentencia φ en el
lenguaje de anillos:

i) φ es cierta en el campo de los números complejos.

ii) Hay primos arbitrariamente grandes tales que todo
campo de caracterı́stica p cumple φ .

Las lı́neas generales de la demostración de este teorema
son: sea k un campo finito con q = pm elementos, don-
de p es un número primo y m > 0. Todo morfismo poli-

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nomial kn → kn inyectivo es también sobreyectivo y para
esto es suficiente considerar el cardinal de kn. En este sen-
tido, lo mismo es cierto para Falg

p , la clausura algebraica
de los campos de p-elementos. Ası́, todo morfismo poli-
nomial (Falg

p )n → (Falg
p )n que sea inyectivo, es biyectivo.

Supongamos por contradicción que f : Cn → Cn es un mor-
fismo polinomial inyectivo que no es sobreyectivo y sea
f (x1, . . . ,xn) = ( f1(⃗x), . . . , fn(⃗x))), donde x⃗ = (x1, . . . ,xn).
Tomemos d el mayor grado de los fi’s. Ax prueba que existe
una sentencia φn,d que expresa el hecho de que todo mor-
fismo polinomial Cn → Cn inyectivo y cuyas componentes
polinomiales tienen grado a lo más d, es sobreyectivo. Como
fue mencionado, Falg

p satisface φn,d para todo primo p. Ası́
que, por los numerales anteriores relacionados a las senten-
cias sobre el lenguaje de anillos, C satisface φn,d , lo que
contradice la hipótesis.

Lo verdaderamente esencial en la prueba anterior es el po-
der que tiene el lenguaje de anillos para expresar múltiples
propiedades sobre polinomios y campos. Recomendamos al
lector [12, Cap. 2, § 2], especialmente el Teorema 2.2.11 de
cuya prueba hicimos un esbozo arriba.

2.3.3. El Nullstellensatz de Hilbert

Una teorı́a es modelo-completa si para cualquier par de sus
modelos N y M, con N ⊆ M, se tiene que una fórmula es
válida en N si y sólo si es válida en M (donde las tuplas
sólo se toman en N). La teorı́a Acf es modelo-completa ([12,
Corolario 3.2.3]) y esta propiedad tiene una consecuencia
interesante: el Teorema (débil) de los ceros de Hilbert o
Nullstellensatz (débil), el cual afirma que si k es un campo
algebraicamente cerrado, entonces V (I) , /0, donde I es un
ideal propio de k[x1, . . . ,xn]. Una versión equivalente de
este teorema, la cual se prueba por una simplificación en
el argumento debida a G. Rabinowitsch, afirma que si f es
algún polinomio en k[x1, . . . ,xn] que se anula en el conjunto
algebraico V (I) entonces existe un número natural r tal
que f r está en I. Esta última versión fue demostrada por
primera vez por D. Hilbert en [31] y establece una relación
fundamental entre la geometrı́a y el álgebra. Tal relación es
la base de la geometrı́a algebraica.

A. Robinson demostró en [32, p. 38] el Nullstellensatz débil
utilizando métodos de teorı́a de modelos. La prueba de Ro-
binson sigue, a grandes rasgos, la siguiente lı́nea de ideas:
tomemos I = ( f1, . . . , fm) (lo cual está garantizado ya que en
el anillo de polinomios todo ideal es finitamente generado) y
sea J un ideal maximal que contiene a I. Como J es maximal
K = k[x1, . . . ,xn]/J es un campo y k = L ⊆ K con L = k

alg
.

Note que tanto L como K son modelos de Acf. Ahora, existe
un elemento enAn

K que anula a todos los fi’s y este hecho
es expresable por una fórmula de primer orden, i.e., existe
una fórmula de primer orden en el lenguaje de anillos que
expresa el hecho de que existe un cero para todos los fi’s y
tal fórmula se valida en K. Por ser Acf modelo-completa, la

fórmula vale en k, esto es, hay una n-tupla a⃗ de elementos
en k tal que f (⃗a) = 0 para todo f ∈ I, i.e., V (I) , /0.

2.3.4. Conjetura de Mordell-Lang para campos de fun-
ciones

Considere k un cuerpo algebraicamente cerrado de carac-
terı́stica p > 0 y recuerde que, desde el formalismo alge-
braico, un campo de funciones sobre k es una extensión de
campos finitamente generada con grado de trascendencia
positivo y finito sobre k. En 1992 D. Abramovich y F. Vo-
loch en su trabajo [33] plantearon una versión plausible de
la Conjetura de Mordell-Lang para campos de funciones
sobre k, a saber, “sea A una variedad abeliana definida sobre
k×, X una subvariedad de A y Γ un subgrupo de rango finito
de A. Supongamos que X ∩Γ es Zariski-denso en X . Enton-
ces, existen A1 ⊆ A una subvariedad abeliana, una variedad
abeliana B definida sobre k, un homomorfismo sobreyectivo
g : A1 → B, y una subvariedad X0 de B definida sobre k tal
que g−1(X0) es una traslación de X”. Abramovich–Voloch
probaron para varios casos particulares la conjetura. No obs-
tante, en [34], Hrushovski demostró la conjetura anterior en
su totalidad usando las herramientas y lenguaje de la teorı́a
de modelos. Invitamos al lector curioso al trabajo [35] para
una aproximación explicada y auto contenida a la prueba
de Hrushovski de la conjetura en cuestión. Para mayores
detalles sobre esta discusión ver [12, pp. 311-313].

2.3.5. El trabajo reciente de Boris Zilber

La mayor parte del trabajo de Zilber establece una sólida
conexión entre la geometrı́a algebraica y la teorı́a de mo-
delos. Un ejemplo claro es [36] donde los autores tratan
el problema de la traducción de la Geometrı́a anabeliana
(de Grothendieck) al lenguaje de la teorı́a de modelos. Otro
trabajo de Zilber que vale la pena mencionar aquı́ es [5]
cuyo teorema principal reproducimos, sin ser precisos en
algunos conceptos involucrados: sea k un campo algebraica-
mente cerrado y C(k) el conjunto de k-puntos de una curva
proyectiva suave C de género g > 1 y sea J(k) su Jacobiana.
Fijando un punto en la curva es posible encontrar una inmer-
sión canónica C(k)→ J(k), donde el punto fijo se identifica
como el cero del grupo. Consideremos ahora (J(k);+;C(k))
como una estructura de grupo abstracta (con un subconjunto
distinguido). Mediante el uso de algunas técnicas de teorı́a
de modelos, Zilber muestra que, para k algebraicamente ce-
rrado, se puede recuperar a partir de estos datos el campo k y
la curva C, salvo un isomorfismo de campos y una isogenı́a
biyectiva de J, que, en caracterı́stica 0 es un isomorfismo de
variedades algebraicas, y en caracterı́stica positiva puede ser
vista como una “torsión de Frobenius”. A partir de tal inter-
pretación, Zilber resuelve una conjetura de F. Bogomolov,
M. Korotaev e Y. Tschinkel en [6, p. 3].

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3. La estabilidad geométrica

En la prueba dada por Morley a la Conjetura de Loś, este
introdujo y desarrolló algunas ideas importantes. Entre ellas,
la más notable es el concepto de “rango de Morley”. Este
sencillo pero poderoso concepto, es la clave de la teorı́a
de modelos moderna. Grosso modo, el rango de Morley es
una abstracción del concepto de “dimensión” para cualquier
teorı́a en matemáticas. Por ejemplo, cuando se estudian cam-
pos algebraicamente cerrados, el “rango de Morley” y el
“grado de trascendencia” coinciden. Más aún, el trabajo de
Morley fue la base de la teorı́a de la estabilidad que, según
Pillay (ver la introducción de [37]) “es un conjunto de técni-
cas que se pueden desarrollar bajo unos supuestos sobre una
teorı́a T para saber cuáles son los modelos de T ”. A modo
de ejemplo, escribamos I(T,κ) para el número de modelos
no isomorfos de T con cardinal κ . Sea T una teorı́a contable
y ℵ1-categórica. Consideremos el problema de encontrar
el número I(T,ℵ0). Es decir, queremos responder a la pre-
gunta: ¿cuántos modelos contables existen para T ? Morley
demostró que I(T,ℵ0)≤ ℵ0. Años más tarde, J. Baldwin y
A. Lachlan, demostraron en [38] que I(T,ℵ0) o es igual a 1
o bien a ℵ0 (ver [37]).

Una de las personas que participó de manera activa en el
desarrollo temprano de la teorı́a de estabilidad es Zilber,
considerado por algunos como uno de los fundadores de la
teorı́a, quien en la introducción de su trabajo [23] señala
que:

Es posible establecer una jerarquı́a de “perfección
lógica” para las teorı́as de primer orden. En dicha
jerarquı́a, las teorı́as no-contablemente categóricas
ocupan la posición más alta.

La principal caracterı́stica de una teorı́a de la esta-
bilidad es una teorı́a de la dimensión y, asociada a
ella, una teorı́a de la dependencia. Tanto las teorı́as de
dependencia como las de dimensión son similares a
las que surgen en la teorı́a de campos.

La teorı́a de la estabilidad geométrica es una parte principal
de la teorı́a de modelos geométrica y fue introducida en una
serie de artı́culos por Zilber, Hrushovski, Pillay, G. Cherlin y
muchos otros. Esta recibe su nombre dado a que en gran par-
te se ocupa de la clasificación modelo-teórica de estructuras
en términos de cantidades de dimensión que pueden ser des-
critas en términos de nociones de geometrı́a combinatoria.
Esto nos obliga a mencionar la siguiente definición:

Definición 3.1 Un matroide finitario o pregeometrı́a M es
un par (M,cl) donde M es un conjunto no-vacı́o y cl es una
función definida en 2M , tal que para todo A ⊆ M y a,b ∈ M
se verifican las siguientes condiciones:

i) Reflexividad: A ⊆ cl(A).

ii) Carácter finito: cl(A) coincide con⋃
{cl(A0) : A0 es un subconjunto finito de A}.

iii) Transitividad: cl(cl(A)) = cl(A).

iv) Intercambio: Si a ∈ cl(A∪ {b})− cl(A), entonces
b ∈ cl(A∪{a}).

Sea M un modelo y A ⊆ M. Definimos la clausura alge-
braica de A, que denotamos por acl(A), como el conjunto
de elementos de M que son solución de alguna fórmula
con parámetros en el conjunto A, con sólo finitas solucio-
nes. Consideremos que M es una estructura fuertemente
minimal (es decir, cualquier subconjunto definible de Mn

es finito o co-finito con cota uniforme) y consideremos que
“acl(·)” es la función que envı́a A ⊆ M a acl(A). La estructu-
ra resultante M = (M,acl) es una pregeometrı́a y se define
una buena noción de “dimensión (combinatoria)”, dim, para
subconjuntos de M en términos de acl. Como un ejemplo
práctico para visualizar esta construcción, considere V un
espacio vectorial y, ası́, acl(A) con A ⊆V es justamente el
subespacio de V generado por combinaciones lineales (fi-
nitas) de elementos en A. De este modo, las condiciones
i)-iii) se satisfacen naturalmente para (V,acl) y por tanto
es un matroide finitario. Ahora bien, un ejemplo trivial se
obtiene al considerar un conjunto infinito M sin estructura
dada, para el que cualquier A ⊆ M, acl(A) =

⋃
a∈A

acl({a}).

De hecho, hasta finales de la década de los 80, los únicos
ejemplos conocidos de pregeometrı́as no triviales eran local-
mente modulares, i.e., aquellas que satisfacen la condición
dim(A∪B)+dim(A∩B) = dim(A)+dim(B) para cualquier
A,B ⊆ M; o no localmente modulares. Zilber observó que
en todos los casos no triviales, la noción de dependencia
obtenida era o bien la dependencia algebraica en la teorı́a de
campos o bien la dependencia lineal en la teorı́a de espacios
vectoriales. Esto, junto al Teorema débil de la tricotomı́a de
Zilber, fue la base de la Conjetura de la tricotomı́a de Zilber
(véase [39]):

Conjetura de tricotomı́a (Zilber, 1984): Si M es un conjun-
to fuertemente minimal y (M,acl) es el operador de clausura
algebraica correspondiente a M, entonces la pregeometrı́a
(M,acl) es trivial, localmente modular, o no localmente mo-
dular. En particular, si los dos primeros casos no ocurren,
entonces existe un campo algebraicamente cerrado k defi-
nible en M y al única estructura en k inducida por M es la
mera estructura de campo.

Destacamos que se han demostrado varios casos positivos
de la conjetura de Zilber en situaciones similares. Más
aún, según [10, p. 79] “la más famosa de todas las trico-
tomı́as (aparte de la de Zilber) es la Tricotomı́a de Peterzil-
Starchenko en el caso de las teorı́as o-minimales y el ‘control
geométrico’ de las estructuras viene dado por la información
‘diferencial abstracta’ que puede extraer de la o-minimalidad
de una teorı́a”.

La “mala hora” de la Conjetura de la tricotomı́a llega cuan-
do Hrushovski prueba en [9] que esta es falsa en general.
Precisamente, Hrushovski muestra que existe un modelo
fuertemente minimal y no localmente modular que no in-

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terpreta ningún grupo infinito. En cierto modo, la desapro-
bación de la conjetura de Zilber resultó más fructı́fera que
una solución afirmativa. En efecto, en [9] el autor ofrece
un nuevo método para construir estructuras estables y, en
particular, estructuras fuertemente mı́nimales. Es importante
mencionar que en este artı́culo, Hrushovski no usa técnicas
o conceptos de la geometrı́a y el contexto de ese trabajo es
puramente combinatorio.

3.1. Geometrı́as de Zariski uno–dimensionales

A pesar de la refutación de Hrushovski, la Conjetura de
tricotomı́a es válida para muchas clases importantes de es-
tructuras matemáticas. Probablemente, la más importante de
dichas clases es la clase de las “geometrı́as unidimensionales
de Zariski”. Estas estructuras fueron definidas y estudiadas
inicialmente por Zilber bajo el nombre de Z-estructuras y
con una configuración más general, “como una forma de
aislar la mejor clase posible en la cima de la jerarquı́a de
estructuras estables” según él mismo escribe en [23, p. 3],
donde además indica que “las condiciones puramente lógi-
cas no son suficientes para que la Conjetura de la tricotomı́a
se cumpla, pero asumir algunas propiedades topológicas
similares a la topologı́a de Zariski sobre una curva algebrai-
ca suave sobre un campo algebraicamente cerrado podrı́a
remediar la situación”.

Una herramienta fundamental en el desarrollo de la teorı́a de
Zilber es la axiomatización de cómo la topologı́a interactúa
con la dimensión de Krull. De forma más precisa, una ca-
racterización débil de suavidad de la geometrı́a en cuestión
permite una definición abstracta del espacio tangente (véase
el Axioma (Z3) más adelante); esto fue suficiente para ob-
tener la existencia de un campo definible en el año 1989,
aunque, según [1, p. 12] tal resultado no tuvo mucho impacto
en ese momento pues la condición de suavidad parecı́a muy
restrictiva.

La clase de geometrı́as unidimensionales de Zariski fue in-
troducida por Hrushovski y Zilber en [1]. A grandes rasgos,
una geometrı́a unidimensional de Zariski es un conjunto
fuertemente minimal en el que tiene sentido una generali-
zación plausible de la topologı́a de Zariski sobre una curva
algebraica suave. En el contexto de las geometrı́as de Zariski
se demostró que la Conjetura de la tricotomı́a de Zilber es
cierta. Se obtiene con esto una primera forma de clasificar
las geometrı́as de Zariski unidimensionales: triviales, local-
mente modulares o no localmente modulares y no triviales.
En estas últimas, siempre es posible interpretar un campo al-
gebraicamente cerrado en el que la única estructura inducida
es la propia estructura de campo. Sin embargo, el trabajo [1]
no termina allı́, adicionalmente, clasifica de manera mucho
más fina y geométrica las geometrı́as de Zariski localmente
modulares y las no triviales y no localmente modulares. Pre-
cisamente, los autores introducen el concepto de geometrı́as
“amplia” y “muy amplia” y se prueba que las geometrı́as
amplias son exactamente las localmente modulares y estas

se pueden identificar como cubiertas finitas de curvas sua-
ves. Para las geometrı́as muy amplias se prueba que son,
en esencia, curvas suaves. En lo que resta de esta sección,
mencionaremos los enunciados precisos de los resultados
hasta aquı́ parafraseados.

Antes de continuar es preciso aclarar nuestra notación. Sean
X ,Y conjuntos. Entonces: cl(X) es la clausura topológica de
X (i.e., el cerrado más pequeño respecto a la inclusión que
contiene a X); X ⊆cl Y significa que X es un subconjunto
cerrado de Y . |X | como la cardinalidad de X . Dado cualquier
C ⊆cl Xn ×Xm, para a⃗ ∈ Xn ponemos C(⃗a) := {⃗x ∈ Xm :
(⃗a, x⃗) ∈C} y “dimensión” significa “dimensión de Krull”.

Para el resto de este trabajo, cuando digamos “geometrı́a de
Zariski”, el lector debe entender “geometrı́a de Zariski de
dimensión uno”, ya que no trabajaremos con geometrı́as de
dimensión mayor.

Definición 3.2 Una geometrı́a de Zariski es un conjunto in-
finito D con una topologı́a Noetheriana sobre cada D,D2, . . .
tal que los siguientes axiomas se cumplen:

(Z0) (Coherencia) Sea fi un mapa de proyección fi(⃗x)=
xσ(i) (donde σ(i) es el valor de una biyección
{1, . . . ,n} → {1, . . . ,n}) o un mapa constante
fi(⃗x) = c. Entonces el siguiente mapa

f : Dn → Dm

x⃗ 7→ ( f1(⃗x), . . . , fm(⃗x))

es continuo.

(Separabilidad) Los conjuntos diagonales ∆n
i j :=

{⃗x ∈ Dn : xi = x j} son cerrados.

(Z1) (QE débil) Sea C ⊆cl Dn y πnm : Dn → Dm un mapa de
proyección, entonces hay un conjunto cerrado propio
F ⊆cl cl(πnm(C)) tal que πnm(C)⊆cl cl(πnm(C))−F .

(Z2) (Irreducibilidad) D es irreducible.

(Unidimensionalidad) D es uniformemente uni-
dimensional, i.e., si C ⊆cl Dn ×D existe N tal
que para todo a⃗ ∈ Dn,
|C(⃗a)| ≤ N o C(⃗a) = D.

(Z3) (Teorema de la dimensión) Sea U un conjunto ce-
rrado irreducible en Dn y ∆n

i j la diagonal i j, enton-
ces cualquier componente de U ∩∆n

i j tiene dimensión
≥ dim(U)−1.

En relación a la definición anterior, es bueno mencionar que:
el Axioma (Z0) relaciona las distintas topologı́as sobre las
potencias de D y relaja la suposición de que la topologı́a
sobre Dn sea la topologı́a del producto de (D,τ1). Pero, ¿por
qué no asumir sobre cada potencia la topologı́a producto,
si esto harı́a (en teorı́a) la definición más fácil? Una razón

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importante es que tal supuesto excluirı́a varios modelos im-
portantes, por ejemplo si k es un campo algebraicamente
cerrado, la topologı́a de Zariski enA2 =A1

k ×A1
k no es la

topologı́a producto de Zariski sobreA1
k . Respecto al Axioma

(Z1), mencionamos que es una forma débil de la elimina-
ción de cuantificadores (de hecho es posible probar que toda
geometrı́a de Zariski elimina cuantificadores en su lenguaje
natural, que definiremos en breve).

Hay muchos ejemplos de geometrı́as de Zariski en matemáti-
cas. En efecto, los conjuntos infinitos sin estructura son
ejemplos triviales de geometrı́as de Zariski (ver [40, Cap.
4]). Asimismo, como fue probado por Zilber, las variedades
complejas compactas y fuertemente minimales son ejemplos
de geometrı́as Zariski. Por otro lado, Hrushovski y Soko-
lović probaron que los campos diferencialmente cerrados
son también ejemplos de este tipo de geometrı́as (ver [12,
Teo. 8.3.17]), entre otros. Los ejemplos por excelencia de
geometrı́as de Zariski son las curvas algebraicas suaves. El
teorema de clasificación principal de la teorı́a clásica es que
bajo condiciones apropiadas de “amplitud”, la afirmación
reciproca es verdadera.

Definición 3.3 Sea D una geometrı́a de Zariski.

i) Un curva plana sobre D es un conjunto unidimensio-
nal irreducible en D2.

ii) Un familia de curvas sobre D consiste en un con-
junto irreducible cerrado E ⊆cl Dn y un subconjunto
irreducible cerrado C del producto E ×D2 tal que el
conjunto C(⃗e) es una curva plana para e⃗ genérico en
E1.

iii) Decimos que D es amplia si existe una familia de
curvas planas C ⊆ E×D2 tal que para cualquier a⃗1, a⃗2
en D2 existe una curva C(⃗e) que pasa por a⃗1 y a⃗2.

iv) Decimos que D es muy amplia si existe una familia
de curvas C ⊆ E ×D2 sobre D que hacen de D una
geometrı́a amplia y tal que para cualquier a⃗1, a⃗2 ∈ D2

existe una curva C(⃗e) que pasa sólo por uno de ellos.

Ejemplo 3.4 Sea k un campo algebraicamente cerrado y
considere la familia de curvas

C =
{
((a,b,c),(x,y)) ∈A3

k ×A2
k : ax+by+ c = 0

}
.

Entonces, para cada (a,b,c) ∈A3
k −{0} tenemos una lı́nea

recta C(a,b,c) : ax+by+ c = 0 enA2
k .

La familia de curvas (C,A3
k) es muy amplia. En efecto, sean

(x1,y1), (x2,y2) puntos distintos de A2
k , considere (y2 −

y1,x1−x2,x2y1−x1y2)∈A3
k −{0}. Es fácil ver que (x1,y1)

y (x2,y2) pertenecen a la recta C(y2 − y1,x1 − x2,x2y1 −
x1y2) con ecuación

1Si X es irreducible, decimos que una propiedad P se cumple genéri-
camente en X , si P se cumple para todos los elementos de X fuera de
un subconjunto cerrado, o, equivalentemente, un punto genérico de X
satisface la propiedad P.

(y2 − y1)x+(x1 − x2)y+(x2y1 − x1y2) = 0.

Entonces la familia es amplia. Ahora veamos que es muy
amplia. Tenemos tres casos posibles:

Caso 1. Los puntos (x1,y1) y (x2,y2) son tales que x1 = x2
pero y1 , y2.

Entonces, la lı́nea C(0,1,−y1) : y− y1 = 0 pasa por (x1,y1)
pero no por (x2,y2).

Caso 2. Los puntos (x1,y1) y (x2,y2) son tales que x1 , x2 y
y1 = y2.

En este caso C(1,0,−x1) : x− x1 = 0 pasa por (x1,x2) pero
no por (x2,y2).

Caso 3. Los puntos (x1,y1) y (x2,y2) son tales que x1 , x2 y
y1 , y2.

La lı́nea C(0,1,−y1) : y− y1 = 0 pasa por (x1,y1) pero no
por (x2,y2).

Por lo tanto la familia descrita es muy amplia 2

Hemos visto una familia muy amplia de curvas, pero en
realidad también podemos dar ejemplos de familias que no
son amplias (y por tanto tampoco muy amplias). A saber:

Ejemplo 3.5 Sea k un campo algebraicamente cerrado y
consideremos P2

k el espacio 2-proyectivo sobre k. Fijemos
una recta ℓ : ax+by+cz = 0 y supongamos que c, 0. Sea C
la familia de rectas proyectivas paralelas a ℓ. La condición de
“amplitud” de la definición falla para esta familia ya que (0 :
0 : 1) no puede estar separada de ningún punto deP2

k por cur-
vas de C, ya que cualquier lı́neas de este tipo pasa por (0 : 0 :
1). En realidad, la condición de “amplitud” también falla pa-
ra esta familia. 2

El lector seguramente habrá notado que las definiciones
anteriores se basan en propiedades de naturaleza topológica.
Sin embargo, estamos interesados en las propiedades de
primer orden de estas estructuras, por lo que introducimos
los lenguajes necesarios para expresar estas propiedades. En
efecto, si D es una geometrı́a de Zariski, consideraremos
dos lenguajes para D:

i) El lenguaje completo de D, denotado Lfull(D), que
contiene un sı́mbolo de relación n-ario para cada sub-
conjunto cerrado de Dn, para todo n enN.

ii) El lenguaje natural de D, que es el sublenguaje Lnat(D)
de Lfull(D) que consiste en todos los subconjuntos
invariantes bajo todos los automorfismos de Dn para
todo n.

En lo que respecta al lenguaje completo de D, note que los
singuletes de D son cerrados, de donde Lfull(D) incluye

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sı́mbolos para las constantes de D, en consecuencia, un au-
tomorfismo de D debe preservar las constates y ası́, será la
identidad (en el lenguaje completo), es decir, D no tiene
automorfismos no triviales en el Lfull(D). Ahora, es un po-
co improbable que en el lenguaje natural haya sı́mbolos de
relación distintos de la igualdad, sin embargo en el Teorema
3.8 quedará en claro que este lenguaje no es trivial, en el sen-
tido que es suficientemente expresivo como para interpretar
estructuras complejas como campos y curvas, sin siquiera
requerir constantes para tal interpretación.

Ya que una geometrı́a de Zariski D se puede considerar como
una estructura de primer orden en su lenguaje natural o su
lenguaje completo, es posible probar para ella propiedades
como eliminación de cuantificadores, ω-estabilidad (sea lo
que sea que esto signifique), etc.

Por otro lado, la información geométrica sobre D como el
hecho de que sea amplia o muy amplia, se puede traducir en
términos puramente lógicos empleando recursos como inter-
nalidad y externalidad de tipos y mapas. Con estas ideas, se
prueba que una geometrı́a de Zariski es amplia si y sólo si es
localmente modular, y que si D no es trivial y no localmente
modular, entonces hay un campo algebraicamente cerrado
k interpretable en D tal que la única estructura que la geo-
metrı́a D induce sobre k es la mera estructura de campo. En
otras palabras, la tricotomı́a de Zilber se vale en el contexto
de geometrı́as de Zariski.

Yendo más lejos, Zilber y Hrushovski (ver Teorema A y
Proposición 1.1 en [1]) muestran:

Teorema 3.6 Si D es una geometrı́a de Zariski muy amplia,
entonces existe una curva algebraica suave C sobre un cam-
po algebraicamente cerrado k tal que C es isomorfa a D
como geometrı́as de Zariski. Más aún, el campo k es único
salvo un isomorfismo de campos y la curva C es única salvo
un isomorfismo de curvas. 2

En otras palabras, la clase de geometrı́as de Zariski muy
amplias es justamente la clase de geometrı́as de Zariski co-
rrespondientes a curvas suaves sobre campos algebraicamen-
te cerrados. Ahora, en relación a las geometrı́as de Zariski
amplias, éstas corresponden a cubiertas finitas de alguna
lı́nea proyectiva (ver [1, Teo. B]), más concretamente:

Teorema 3.7 Si D es una geometrı́a de Zariski amplia, en-
tonces existe un campo algebraicamente cerrado k y un
morfismo sobreyectivo f : D →P1

k que envı́a conjuntos cons-
truibles a conjuntos algebraicamente construibles. Además,
existe un subconjunto cofinito de D donde f es un morfismo
cerrado de Zariski. 2

Canónicamente hablando, las geometrı́as de Zariski (am-
plias) son en esencia curvas algebraicas, salvo por fibras
finitas. Esto es (ver [1, Teo. B’]):

Teorema 3.8 Sea D una geometrı́a de Zariski amplia. En-
tonces existe un campo algebraicamente cerrado k, una
curva algebraica suave C sobre k, y un morfismo sobre-

yectivo de Zariski finito-a-uno (es decir, la imagen inversa
de todo punto en C es finita) f : D → C. Todos, C,k y f
son definibles sin parámetros en el lenguaje natural de D.
2

Note que el Teorema 3.8 nos responde, por cierto, esa pre-
gunta un poco no evidente de que el lenguaje natural con-
tenga sı́mbolos no lógicos distintos de la mera igualdad. De
otro lado, “este teorema es verdadero en su totalidad en el
contexto de las superficies complejas compactas. Esto es
consecuencia del Teorema de Existencia de Riemann. Sin
embargo, no existe ningún análogo de este teorema en el
contexto de las geometrı́as de Zariski” [23]. En efecto (ver
[1, Teo. C]):

Teorema 3.9 Existe una geometrı́a de Zariski amplia pero
no muy amplia que no es interpretable en ningún campo al-
gebraicamente cerrado. 2

Con esto cerramos nuestra presentación de los resultados de
Zilber y Hrushovski.

4. Tendencias recientes y otras lı́neas de Investiga-
ción

En esta sección mencionaremos temas relativos a las geo-
metrı́as de Zariski que se han desarrollado en años recientes.
No daremos preliminares sobre ninguno de los temas que
mencionamos, pues hacerlo extenderı́a este trabajo más allá
de lo deseado, ni entraremos en discusiones detalladas de
ningún tema. En su lugar, dejaremos una buena cantidad de
referencias para el lector interesado.

4.1. Z-estructuras

En el trabajo [41] Zilber introdujo el concepto de Z-estructura
y en [23] dicha noción se refina para generalizar la noción
de geometrı́a de Zariski a dimensiones superiores. En este
entorno se dispone de un análogo parcial del Teorema 3.6.
Afirma que “si D es una geometrı́a de Zariski casi fuertemen-
te minimal de dimensión 2 o más, y existe una familia de
curvas en D tal que dos puntos cualesquiera están separados
por una curva y dos puntos cualesquiera se encuentran con-
juntamente en alguna curva, entonces existe un subconjunto
abierto denso de D isomorfo a una variedad algebraica”,
veáse [23, Cap. 4].

4.2. Geometrı́as de Zariski analı́ticas

Recientemente, Zilber introdujo las estructuras analı́ticas
de Zariski con el fin de encontrar una generalización de las
geometrı́as de Zariski, y la principal diferencia entre las es-
tructuras de Zariski y las estructuras analı́ticas de Zariski es
el supuesto de Noetherianidad en las topologı́as. En efecto,
las estructuras analı́ticas de Zariski no se suponen Noethete-
rianas. Como señala Zilber “la ausencia de esa hipótesis hace

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más complicada la definición de estructura analı́tica de Zaris-
ki: hay que distinguir entre subconjuntos cerrados generales
de Mn y los que tienen mejores propiedades topológicas (los
analı́ticos). Uno de los principales resultados sobre las geo-
metrı́as analı́ticas de Zariski afirma que cualquier estructura
analı́tica compacta de Zariski es Noetheriana”. Remitimos al
lector a [23, Cap. VI] como una buena fuente sobre el tema.

Sea k un campo y sea k× su grupo multiplicativo. Las posi-
bles compactaciones modelo teóricas de una cubierta de k×

se discuten en [42] por L. Smith. Varias de estas compactifi-
caciones se muestran como cubiertas de variedades tóricas
y las estructuras correspondientes se muestran como estruc-
turas analı́ticas de Zariski en un subconjunto abierto denso.
Otros ejemplos de estructuras analı́ticas de Zariski son cons-
truidas en [43] por M. Gavrilovich a partir de cubiertas de
variedades abelianas.

4.3. Clases elementales quasi-minimales

En el trabajo [44] K. Kangas estudió las clases elementales
abstractas que surgen de una estructura de pregeometrı́a cua-
siminimal y desarrolló una teorı́a de independencia enMeq,
trabajando con el operador de clausura acotada. Además,
Kangas generalizó el Teorema de la configuración de grupos
de Hrushovski a su caso y, en un intento de generalizar las
geometrı́as de Zariski al contexto de las clases cuasimini-
males, proporcionó una axiomatización para las estructuras
tipo Zariski. Mediante el uso de su teorema de configuración
de grupos, Kangas demostró que cualquier pregeometrı́a no
trivial (obtenida a partir del operador de clausura acotado) in-
terpreta un grupo. Para dar un ejemplo de una estructura tipo
Zariski, Kangas utilizó la cubierta del grupo multiplicativo
de un campo algebraicamente cerrado.

En [45] Kangas muestra que si D es una estructura tipo
Zariski y la pregeometrı́a canónica obtenida del operador
de clausura acotada no es localmente modular, entonces D
interpreta un campo algebraicamente cerrado o un grupo no
clásico. De este modo, los principales teoremas de [44, 45]
corresponden a los análogos de la tricotomı́a que Zilber y
Hrushovski mostraron en [1, § 6].

4.4. Álgebras afines de Azuyama

En la tesis doctoral [46], V. Solanki definió una subcategorı́a
adecuada de “álgebras de Azumaya afines” y construyó un
functor desde esta categorı́a a la categorı́a de estructuras de
Zariski (en el sentido de [23]). Solanki también construyó
la base de una teorı́a de presheaves de estructuras topológi-
cas y proporciona ejemplos de estructuras en un parámetro
genérico. En este trabajo también definió la categorı́a CEA de
álgebras equivariantes y para cada M ∈ Ob(CEA) se definió
una teorı́a de primer orden. En este caso, se demostró que,
bajo condiciones adecuadas, la categoricidad incontable y la
eliminación del cuantificador se cumplen. En particular, So-

lanki probó que los modelos de estas teorı́as son estructuras
de Zariski.

4.5. Especializaciones de geometrı́as de Zariski

Las completaciones y extensiones para las especializacio-
nes de las geometrı́as de Zariski se estudian en la tesis de
maestrı́a de S. Pinzón en la Universidad de Los Andes [11].

Es bueno mencionar que la teorı́a de las especializaciones
en el contexto de la geometrı́a algebraica es bien conocida
y entendida. Los textos [47] y [48] son buenas referencias
sobre el tema. Sin embargo, fuera del campo de la geometrı́a
algebraica las especializaciones no son bien comprendidas.
Esta noción es especialmente importante en el desarrollo
de las geometrı́as de Zariski, pues son una pieza crucial en
la prueba de la Conjetura de tricotomı́a para geometrı́as de
Zariski. Un tipo especial de especializaciones son las espe-
cializaciones universales cuya teorı́a es estudiada en [49]
por A. Onshuus y Zilber. U. Efem estudió especializaciones
de campos algebraicamente cerrados y variedades definibles
en ellos en [50] y en su tesis doctoral [51] Efem estudia la
pregunta “¿cuándo una especialización es κ-universal?”

Aquı́ también podemos mencionar el trabajo conjunto de
Efem y Zilber [52] en que se estudian las propiedades de
existencia y unicidad de extensiones de especializaciones
universales de una estructura base de Zariski a su cubierta
regular.

4.6. Geometrı́as de Zariski sobre unarios

En la tesis doctoral [40], A. Albalahi axiomatizó la teorı́a
de unarios. A saber, un unario es una estructura M en un
lenguaje L cuyo único sı́mbolo no lógico es un sı́mbolo
de función de aridad uno f . En realidad, Albalahi clasificó
los unarios fuertemente minimales M (sobre un lenguaje
L = { f}) donde f M es inyectivo y da axiomatizaciones
completas para ellos. En [40, Cap. 5] Albalahi demostró la
eliminación de cuantificadores para estas teorı́as después
de añadir algunos sı́mbolos de relación a L . Dando una
topologı́a a las estructuras subyacentes demostró que es-
tas topologı́as satisfacen los axiomas (Z0)-(Z3) ([40, Cap.
6]). También recomendamos el trabajo de Albalahi como
fuente auto contenida para ejemplos no elementales de las
geometrı́as de Zariski.

4.7. Espacios lineales abstractos

En [53], D. Sustretov estudia el problema de definir ciertas
geometrı́as de Zariski en la teorı́a de campos algebraicamen-
te cerrados. En este caso, Sustretov axiomatizó una clase
de estructuras, llamadas “espacios lineales abstractos”, que
no son más que una reducción común de estas geometrı́as
de Zariski. Mediante esta descripción, Sustretov describe lo

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que es una interpretación de un espacio lineal abstracto en
un campo algebraicamente cerrado.

Además, se dan las condiciones necesarias y suficientes para
que una geometrı́a cuántica de Zariski (definida por Zilber
en 2008, véase [54]) sea definible en un campo algebraica-
mente cerrado. Se intenta extender los resultados descritos
anteriormente al entorno analı́tico-complejo y se proporcio-
nan las condiciones necesarias y suficientes para que una
geometrı́a de Zariski cuántica suave tenga un modelo analı́ti-
co complejo.

4.8. Espacios algebraicos de tipo finito

En el trabajo [55] C. Ruiz estudia los espacios algebraicos de
tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado utilizan-
do geometrı́as de Zariski. Mediante el uso de la eliminación
de imaginarios para la teorı́a de campos algebraicamente
cerrados, la eliminación débil de imaginarios para las geo-
metrı́as de Zariski unidimensionales y una versión fuerte del
teorema de la tricotomı́a para las geometrı́as de Zariski, el
autor da una nueva demostración de algunos resultados sobre
la representabilidad de los espacios algebraicos. Además,
Ruiz ofrece un estudio de los esquemas no reducidos: dado
un esquema no reducido X , considere la estructura reducida
Xred asociada a X . Si Xred es una variedad algebraica, existe
una geometrı́a de Zariski que le corresponde. En este en-
torno Ruiz estudia la pregunta “¿cuánta información sobre
X contiene la teorı́a de Xred?”.

4.9. Geometrı́as de Zariski y mecánica cuántica

El estudio de las relaciones entre la fı́sica y las geometrı́as
de Zariski lo inició Zilber y varios de sus resultados en
el área se encuentran en su libro [23]. Sin embargo, vale
la pena mencionar aquı́ el reciente trabajo de M. Zanussi
[56] en el se menciona una aplicación de las estructuras
no clásicas de Zariski al cálculo de fórmulas de mecánica
cuántica mediante un método de aproximación estructural
desarrollado por Zilber.

4.10. Un invariante por isomorfismos: el género

En el trabajo [57] se explora la posibilidad de clasificar de
manera más fina la clase de geometrı́as de Zariski muy am-
plias empleando una noción de género: sea D una geometrı́a
de Zariski muy amplia. Decimos que D tiene género g si es
isomorfa a la geometrı́a de Zariski de una curva algebraica
C de género g. (En este sentido, una geometrı́a de Zariski
de género 0 es aquella que es isomorfa a la geometrı́a de
Zariski de P1

k donde k es un campo algebraicamente cerrado.
Similarmente, una geometrı́a de Zariski de género 1 es aque-
lla que es isomorfa a la geometrı́a de Zariski de una curva
elı́ptica, etc.) El género de una geometrı́a de Zariski muy
amplia es bien definido en virtud del Teorema 3.6. Ahora

bien, como el género de una curva suave es invariante bajo
isomorfismos (de curvas suaves) se deduce que el género de
una geometrı́a de Zariski es invariante bajo isomorfismos
(de geometrı́as de Zariski). En relación a esta noción, existe
la siguiente pregunta:

“¿cómo definir el género de una geometrı́a de Zariski sin
apelar a la noción algebraica de género?”

A pesar de no tener respuesta para la pregunta anterior y de
que la definición carece de un método explı́cito para hallar
el género de una geometrı́a de Zariski, esta puede emplearse
para clasificar (mediante morfismos) geometrı́as de Zariski
muy amplias.

En [57] se muestra que si C, C′ son curvas algebraicas suaves
quasi-proyectivas sobre un campo algebraicamente cerrado
k y h : C →C′ es un morfismo inyectivo de geometrı́as de
Zariski, existe un morfismo racional de variedades alge-
braicas l : C → C′. Este resultado extiende la Proposición
1.1 de [1] y puede usarse para derivar una versión del Teo-
rema de Riemann-Hurwitz para geometrı́as de Zariski. A
saber, en geometrı́a algebraica, este teorema afirma que si
C, C′ son curvas algebraicas quasi-proyectivas suaves sobre
un campo algebraicamente cerrado k y existe un morfismo
f : C →C′ no-constante, entonces gen(C′)≤ gen(C), donde
gen(C) es el género de la curva algebraica C (véase [28, p.
299]); en términos de geometrı́as de Zariski se sigue que:
si D y D′ son geometrı́as de Zariski muy amplias y existe
un campo algebraicamente cerrado k interpretable en ambas
geometrı́as y un morfismo inyectivo f : D → D′, entonces
gen(D′)≤ gen(D). En particular, si D es una geometrı́a de
Zariski muy amplia y k un campo algebraicamente cerra-
do interpretable en D y si existe un morfismo inyectivo
f : P1

k → D, entonces gen(D) = 0.

Esta idea de definir el género de geometrı́as de Zariski muy
amplias y emplearlo para clasificarlas “está sobre el tintero”
y resta mucho de estudiar en torno a ella. Varias preguntas
como la expresividad en primer orden de esta propiedad o
versiones plausibles del Teorema de Hurwitz están abiertas
y fueron tratadas parcialmente en [57].

Agradecimientos

Agradecemos los valiosos comentarios y correcciones pro-
porcionados por los jurados anónimos. Estos permitieron
fortalecer significativamente la legibilidad, solidez y cohe-
rencia de los argumentos presentados.

Financiación:

Los autores recibieron apoyo parcial del CODI (Universidad
de Antioquia, UdeA), a través del proyecto identificado con
el acta No: 2020-33713.

© 2024 Revista Ciencia en Desarrollo Vol. 15 No. 1 Enero - Junio 2024 167



Joel Torres del Valle y Pedro Hernandez Rizzo.

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	Introducción a la teoría de modelos
	¿Qué es, a grandes rasgos, la teoría de modelos?
	Teoría de modelos elemental: Una revisión rápida
	Historia y un recorrido sobre resultados pioneros de la teoría de modelos
	Eliminación de cuantificadores

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