Vol. XIX, No 2, Diciembre (2011)
Matemáticas: 15–32

Matemáticas:
Enseñanza Universitaria
c©Escuela Regional de Matemáticas

Universidad del Valle - Colombia

Homoloǵıa de Morse en variedades compactas

Carlos Alberto Maŕın Arango
Universidad de Antioquia

Recibido Mar. 11, 2011 Aceptado Jul. 7, 2011

Abstract
Given a compact Riemannian manifold (M, g) and a Morse function f : M → R whose gradient
flow satisfies the Morse–Smale condition, (i.e. the stable and unstable manifolds of f intersect
transversely) we construct a chain complex called the Morse–Witten Complex. Our goal on this
paper is to show that the homology of the Morse–Witten complex is isomorphic to the singular
homology of M .

Keywords: Morse homology, Morse-Smale condition, Morse- Witten complex.

MSC(2000): 53A15, 53B05, 53C10, 53C30

Resumen
Dada una variedad Riemanniana compacta (M, g) y una función de Morse f : M → R cuyo
campo gradiente satisface la condición de Morse–Smale, (i.e. las variedades estable e inestable
de f tienen intersección transversal) construimos un complejo de cadena llamado el complejo de
Morse–Witten. Nuestro objetivo en este art́ıculo es mostrar que la homoloǵıa del complejo de
Morse–Witten es isomorfa a la homoloǵıa singular de M .

Palabras y frases claves: Homoloǵıa de Morse, Condición de Morse–Smale, Complejo de
Morse–Witten.

1 Introducción

Los fundamentos de la Teoŕıa de Morse son originalmente introducidos por Mars-
ton Morse en el art́ıculo [9]. La idea básica de esta teoŕıa es encontrar invariantes
topológicos para los puntos cŕıticos de una función diferenciable y estimar técni-
cas para determinar el valor de tales invariantes. Una referencia clásica para el
estudio de estos tópicos es [8], alĺı por medio del estudio de los subniveles cerrados

fa = {x ∈M : f(x) ≤ a},

donde a ∈ R y f es una función diferenciable definida en una variedad compacta
finito dimensional M , se obtiene información sobre el tipo de homotoṕıa de M ,
más espećıficamente, si f : M → R es una aplicación diferenciable definida en una
variedad diferenciable compacta, los subniveles fa no cambian topológicamente
cuando el número a varia en un intervalo [b, c] el cual no contiene valores cŕıticos;
esto es mostrado deformando los subniveles cerrados por medio de las ĺıneas de
flujo del campo gradiente de f . Obviamente, la presencia de un valor cŕıtico en el
intervalo [b, c] es una obstrucción para tal argumento, ya que en este caso algunas
ĺıneas de flujo del campo gradiente de la función f no realizan su trayectoria



16 C. Maŕın

desde el nivel c hasta el nivel b. Si hay un único valor cŕıtico a ∈]b, c[, enton-
ces f c como espacio topológico se obtiene adjuntando al subnivel f b una célula
por cada punto cŕıtico en f−1(a) de dimensión igual al ı́ndice del punto cŕıtico.
Dado que el pegado de células produce un efecto en la homoloǵıa de un espacio
topológico, la presencia y la cantidad de puntos cŕıticos de un ı́ndice espećıfico
puede determinarse considerando los grupos de homoloǵıa de M .

En los últimos 60 años la Teoŕıa de Morse ha estado presente en diversos
trabajos, en la decada del 50, Raoul Bott empleando métodos de la teoŕıa de
Morse estudió los grupos de homoloǵıa y homotoṕıa para los espacios simétricos
compactos [1, 2], de este trabajo se obtiene la prueba del Teorema de periodicidad
de Bott, además se introducen las funciones de Morse–Bott las cuales son una
generalización de las funciones de Morse. Durante la decada de los 60, la Teoŕıa
de Morse es empleada para estudiar algunos aspectos topológicos en variedades,
en particular en los trabajos de Stephen Smale los cuales le conducen a la solución
de la conjetura de Poncaire para dimensiones mayores a 4. En los años 80, aparece
un nuevo enfoque de la teoŕıa de Morse debido a Edward Witten [17], la idea
fundamental de este trabajo es asociar a una función de Morse f : (M, g) →
R definida en una variedad Riemanniana compacta de dimensión finita n un
complejo de cadena llamado el complejo de Morse–Witten, para el cual el k-ésimo
(k = 0, . . . n) grupo de cadena es el grupo abeliano libre generado por los puntos
cŕıticos de ı́ndice k de f y cuyo operador bordo realiza un conteo algebraico de
las ĺıneas de flujo asociadas con el campo gradiente. La homoloǵıa del complejo
de Morse–Witten es conocida como la Homoloǵıa de Morse. A comienzos de la
decada de los 90, Andreas Floer apoyado en las ideas de Witten introduce la
Homoloǵıa de Floer que es la versión infinito dimensional de la Homoloǵıa de
Morse [5]. Previo al trabajo de Witten, la idea de asociar un complejo a una
función de Morse definida en una variedad Riemanniana (M, g) fue considerada
por René Thom, quien encontró una descomposición celular para M asociada con
f ; luego Smale introduce una condición adicional en la métrica g, de modo que
la descomposición celular resultante es un complejo celular.

El objetivo de este trabajo es mostrar que el complejo de Morse–Witten aso-
ciado con una función de Morse f : (M, g)→ R es un complejo de cadena isomorfo
al complejo de cadena singular de la variedad M . Este resultado aparece probado
en [14]; el enfoque presentado en este trabajo es diferente y se realiza desde el pun-
to de vista de los sistemas dinámicos, a saber, via la intersección de las variedades
estable e inestable asociadas con los puntos cŕıticos de la función. La selección de
este tópico para la elaboración de este art́ıculo es motivada fundamentalmente en
la elegancia y el caracter interdisciplinario de la teoŕıa de Morse, la cual, además
de ofrecer una colección considerable de teoremas, introduce conceptos y técnicas
que se han tornado herramientas útiles para comprender y solucionar problemas
matemáticos en diversas áreas.



Homoloǵıa de Morse 17

2 Notación y preliminares

2.1 Puntos cŕıticos y funciones de Morse

Sea M una variedad diferenciable de dimensión n y sea f : M → R una función
diferenciable. Un punto p ∈ M es llamado un punto cŕıtico de f si la aplicación
lineal inducida df(p) : TpM → R tiene rango nulo, en este caso el valor real f(p)
es llamado valor cŕıtico de f . Denotamos por Crit(f) el conjunto formado por
todos los puntos cŕıticos de la función f . Si a ∈ R, el conjunto de los puntos
cŕıticos en el nivel a es definido y denotado por:

Crita = Crit(f) ∩ f−1(a).

Obviamente, Crit(f) y Crita son subconjuntos cerrados de M y el conjunto de
valores regulares de f es dado por R \ f

(
Crit(f)

)
.

Para cada p ∈ Crit(f), es posible definir una aplicación bilineal simétrica
d2f(p) en TpM , llamada la forma Hessiana de f en p. Un punto cŕıtico p es no
degenerado si la forma Hessiana de f en p es no degenerada. El ı́ndice de Morse
para el punto cŕıtico p ∈M se define como siendo el ı́ndice de la forma Hessiana de
f en p. i.e., la dimensión del mayor subespacio en el cual ésta es definida negativa.
Decimos que f es una función de Morse cuando todos sus puntos cŕıticos son no
degenerados.

El Lema de Morse afirma que en coordenadas apropiadas entorno a un punto
cŕıtico no degenerado, la función f puede ser descrita por una forma cuadrática
no degenerada. Más espećıficamente, si p es un punto cŕıtico no degenerado de la
función f , entonces existen coordenadas locales (y1, · · · , yn) en una vecindad U
de p con yi(p) = 0 para cada i de modo que la identidad:

f = f(p)− (y1)2 − · · · − (yk)
2 + (yk+1)2 + · · ·+ (yn)2 (1)

se cumple en U , donde k denota el ı́ndice de Morse de p [8]. Como consecuencia
de la identidad (1) se tiene que el ı́ndice de cualquier punto de máximo local
(resp. mı́nimo local) es n. (resp. 0) Además, dado que el origen es el único punto
cŕıtico de una forma cuadrática no degenerada, se tiene que los puntos cŕıticos no
degenerados de una función diferenciable f : M → R son aislados en el conjutno
Crit(f). En particular, si f : M → R es una función de Morse definida en una
variedad diferenciable compacta, el conjunto Crit(f) es finito.

Es natural indagar sobre la existencia de funciones de Morse definidas en una
variedad diferenciable arbitraria M . La respuesta a esta pregunta es afirmativa
en el caso compacto. Además, en la actualidad es posible mostrar que dada una
función diferenciable g : M → R, existe una función de Morse f : M → R
arbitráriamente cerca de g (respecto a la topoloǵıa de convergencia uniforme) [3].

2.2 Orientación, transversalidad y número de intersección

Una orientación (en el sentido diferenciable) para una variedad diferenciable M
es definida como una aplicación que asocia a cada punto x ∈M una orientación



18 C. Maŕın

para el espacio tangente TxM ; la cual depende continuamente de x, tal conti-
nuidad puede establecerse en términos de la existencia de un atlas formado por
cartas positivamente orientadas. En el caso de las variedades topológicas no se
posee en general un espacio tangente en cada punto, por lo cual, la definición de
orientación presentada para el caso de una variedad diferenciable no tiene senti-
do. Sin embargo, empleando teoŕıa de homoloǵıa es posible obtener una definición
elegante para el concepto de orientación en una variedad, la cual incluye las va-
riedades topológicas. En efecto, una orientación homológica para una variedad
topológica n-dimensional M es una sección global del fibrado O(M) sobre M , en
que

O(M) =
⋃

x∈M
Hn(M,M \ {x}),

la cual asocia a cada punto x ∈ M un generador del grupo ćıclico infinito
Hn(M,M \ {x}). Para el caso de una variedad diferenciable M , dado x ∈ M
es posible mostrar que existe una biyección canónica entre el conjunto de las
orientaciones en el sentido homológico de M en el punto x (i.e., el conjunto de
los generadores del grupo ćıclico infinito Hn

(
M,M \{x}

)
) y el conjunto de orien-

taciones en el sentido diferenciable en x (i.e., el conjunto de orientaciones para
el espacio vectorial TxM). Por una orientación transversal para una subvariedad
N ⊂ M es entendida una aplicación que asocia a cada punto x ∈ N una orien-
tación para el espacio vectorial TxM/TxN , la cual dependa continuamente de x.
El siguiente resultado es adaptado de ideas encontradas en [15].

Teorema 1. Si N ⊂M es una subvariedad cerrada tranversalmente orientada y
codimensión n, existe un isomorfismo:

Hn(M,M \N)
%−−→ H0(N).

Además, si M ′ es una subvariedad de M transversal a N , y N ′ = M ′ ∩ N ,
entonces el siguiente diagrama:

Hn(M,M \N)
% // H0(N)

Hn(M ′,M ′ \N ′) % //

i∗

OO

H0(N ′)

i∗

OO
(2)

es conmutativo. En particular, si N = {a} con dimM = n, entonces el isomor-
fismo

% : Hn(M,M \ {a}) −→ H0({a})
mapea el generador asociado con la orientación diferenciable en TaM , sobre el
generador canónico de H0({a}).

Al igual que para el concepto de orientación en variedades, la noción de núme-
ro de intersección de una función con una suvariedad de su codominio puede ser



Homoloǵıa de Morse 19

formulada tanto en el lenguaje de la topoloǵıa diferencial (la cual exige la di-
ferenciabilidad de la función en cuestión) [13], como en el lenguaje topoloǵıa
algebraica (la cual sólo requiere la continuidad de la función). En el lenguaje de
la topoloǵıa algebraica el caso más simple corresponde a una función continua
definida en un subconjunto abierto de la esfera Sn a valores en una variedad to-
pológica n-dimensional orientada N . Denotamos por τ [n] el generador del grupo
Hn

(
Rn,Rn\{0}

)
el cual es asociado a la orientación canónica de Rn y por α[n]1 el

generador del grupo H̃n(Sn) obtenido de τ [n] via el isomorfismo ∂∗ que aparece en
la secuencia larga en homoloǵıa del par

(
Rn,Rn \{0}

)
. Sean U ⊂ Sn un conjunto

abierto, P ⊂ N una subvariedad cerrada transversalmente orientada y f : U → N
una función continua tal que f−1(P ) es un conjunto compacto; el número de in-
tersección (en el sentido homológico) de la función f con la subvariedad P se
define como el entero η(f, P ) para el cual se cumple la igualdad:

φ
(
α[n]

)
= η(f, P ).

donde φ : H̃n(Sn)→ Z es el homomorfismo dado por la composición que aparece
en el diagrama:

H̃n(Sn)
i∗ //

φ

&&NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN
Hn

(
Sn, Sn \ f−1(N)

)
Hn(U,U \ f−1(N))exc

'oo

f∗
��

Hn(M,M \N)

%

��
H0(N)

⊕
��
Z

3 El complejo de Morse–Witten

Sean (M, g) una variedad Riemanniana compacta n-dimensional y f : M → R
una función de Morse. El objetivo es asociar un complejo de cadena a f , o más
precisamente a −∇f , en que ∇f denota el campo gradiente de f respecto a g.
Claramente la singularidades de −∇f son precisamente los puntos cŕıticos de f ;
además, por compacidad éste es un campo vectorial completo cuyo flujo induce
una acción diferenciable:

(t, x) 7−→ t · x
del grupo aditivo R sobre M y para la cual cada ĺınea de flujo converge a un punto
cŕıtico de f , i.e., dado un punto arbitrario x ∈M se tiene que ĺımt→±∞ t ·x existe

1la orientación diferenciable asociada a la orientación α[n] of Sn es precisamente la orientación
dada por el vector normal que apunta para fuera. [16].



20 C. Maŕın

y es un punto cŕıtico de f . Para este sistema dinámico, las variedades estable e
inestable asociadas al punto cŕıtico p ∈M se definen respectivamente por:

Ws(p) = {x ∈M : ĺım
t→+∞

t · x = p}

Wu(p) = {x ∈M : ĺım
t→−∞

t · x = p}.

Tanto Ws(p) como Wu(p) son subvariedades embebidas de M , homeomorfas a
los espacios Rn−ind (p),Rind (p) respect́ıvamente; donde ind (p) denota el ı́ndice de
Morse del punto cŕıtico p, [11]. Obviamente si x pertenece a la variedad estable
(resp., inestable) de un punto critico p entonces t · x también pertenece a la
variedad estable (resp., inestable) de p. En particular, para x ∈ Ws(p) se tiene:

−∇f(x) =
d

dt
t · x

∣∣∣
t=0
∈ TxWs(p), (3)

para todo x ∈ Ws(p), similarmente −∇f(x) ∈ TxWu(p), para todo x ∈ Wu(p).
Dados puntos p, q ∈ Crit(f) tales que las variedades Wu(p), Ws(q) son trans-

versales y no dijuntas, como consecuencia de la transversalidad se tiene que
Wu(p) ∩ Ws(q) es una subvariedad embebida de M , cuya dimensión es calcu-
lada como sigue:

dim
(
Wu(p) ∩Ws(q)

)
= dim

(
Wu(p)

)
+ dim

(
Ws(q)

)
− dim(M)

= ind (p) + dim(M)− ind (q)− dim(M)

= ind (p)− ind (q).

Además, cuando p 6= q, para cada x ∈ Wu(p) ∩Ws(q) se tiene:

Tx
(
Wu(p) ∩Ws(q)

)
= TxWu(p) ∩ TxWs(q),

en particular, ind (p) > ind (q) y −∇f(x) ∈ Tx
(
Wu(p) ∩Ws(q)

)
.

El concepto de transversalidad entre las variedades estable e inestable es in-
troducido en teoŕıa por Smale, quien descubrió que este requisito para la inter-
sección de estas variedades se mantiene válido para una métrica generica en M .
Por esta razón, tal condición es conocida como la condición de Morse-Smale; más
espećıficamente:

Definición 1. Dado un número entero k, la función f : (M, g)→ R satisface la
condición de Morse–Smale de orden k si para cada par de puntos cŕıticos p, q ∈M
con ind (p) − ind (q) ≤ k, la variedad inestable de p y la variedad estable de q
son transversales. Si f : (M, g)→ R satisface la condición de Morse–Smale para
cada k ∈ Z simplemente se dice que f satisface la condición de Morse–Smale.

La condición de transversalidad de Morse–Smale, permite definir una relación
de orden en los ı́ndices de los puntos del conjunto Crit(f) determinada por la



Homoloǵıa de Morse 21

existencia de una ĺınea de flujo entre dos puntos cŕıticos, de forma que el ı́ndice
de Morse decrece a lo largo de las ĺıneas de flujo de −∇f . Además, si ind (p) −
ind (q) = 1 y las variedades Wu(p),Ws(q) son no disjuntas, entonces la variedad
Wu(p)∩Ws(q) tiene dimensión 1 y consiste de una colección de ĺıneas de flujo para
−∇f uniendo el punto cŕıtico p con el punto cŕıtico q. Es posible mostrar que dicha
colección de ĺıneas de flujo es finita. A saber, si asumimos que la función de Morse
f : (M, g) → R satisface la condición de Morse–Smale de orden 1, empleando la
compacidad se puede obtener la clausura del conjuntoWs(p) adicionando algunas
ĺıneas de flujo por pasos para el campo −∇f , i.e., ĺıneas de flujo que pasan por
otros puntos cŕıticos antes de alcanzar su punto final. Más espećıficamente, en
[16] es probado el siguiente resultado: Sea p ∈ Crit(f). Si x ∈ Ws(p) entonces
existe una k-ĺınea de flujo por pasos desde el punto −∞ · x hasta el punto p.
Donde por una k-ĺınea por pasos entendemos una sucesión γ = (γ1, ..., γk) de
ĺıneas de flujo γi : R→M para −∇f , tales que ĺımt→+∞ γi(t) = ĺımt→−∞ γi+1(t)
para cada i = 1, ..., k − 1.

Lema 1. Dados p, q ∈ Crit(f) con ind (p)− ind (q) = 1, el número de ĺıneas de
flujo desde p hasta q es finito.

Demostración. Sea a < f(p) un número real tal que no hay valores cŕıticos de f en
el intervalo [a, f(p)[, cada ĺınea de flujo no constante de −∇f contenida enWu(p)
intersecta el nivel f−1(a) (precisamente en un punto), o sea, existe una bijección
entre el conjunto de las ĺıneas de flujo de −∇f desde p hasta q y la subvariedad
cero dimensionalWu(p)∩Ws(q)∩f−1(a). Veamos queWu(p)∩Ws(q)∩f−1(a) es
un conjunto finito. Wu(p)∩Ws(q)∩ f−1(a) es un conjunto discreto, para obtener
el resultado deseado es necesario mostrar que es un conjunto cerrado. Para esto,
sea x un punto en su clausura, comoWu(p)∩f−1(a) es compacto (homeomorfo a
la esfera), se tiene que x ∈ Ws(q)∩Wu(p)∩f−1(a). Por lo tanto, existe una k-ĺınea
por pasos desde q1 = ĺımt→−∞ t ·x ∈ Crit(f) hasta q, luego existe una k+ 1-ĺınea
por pasos desde p hasta q. Como 1 = ind (p) − ind (q) ≥ k + 1, necesariamente
k = 0 lo que implica q1 = q.

Ahora estamos en condiciones de presentar el Complejo de Morse–Witten
asociado al campo −∇f . Antes de proceder, para cada par de puntos p, q ∈
Crit(f) es necesario escoger de forma apropiada una orientación enWu(p)∩Ws(q).
En efecto, dado p ∈ Crit(f) escogemos una orientación para el espacio vectorial
TpWu(p), esta selección induce una orientación en la variedad inestable Wu(p);
además una orientación transversal en la variedad estable Ws(p). Por lo tanto,
dados p, q ∈ Crit(f) con ind (p) − ind (q) = 1. En cualquier punto sobre una
ĺınea de flujo desde p hasta q se tiene un isomorfismo canónico:

TWu(p)→ T
(
Wu(p) ∩Ws(q)

)
⊕
(
TM/TWs(q)

)
(4)

La orientación en Wu(p)∩Ws(q) es escogida de forma tal que el isomorfismo (4)
sea orientado positivo.



22 C. Maŕın

Definición 2. (El complejo de Morse–Witten) Para k ≥ 0, se define el grupo
de cadena Ck(f) como siendo el grupo libre abeliano generado por el conjunto de
puntos cŕıticos de f con ı́ndice de Morse k; y el operado bordo ∂k : Ck(f) →
Ck−1(f) se define por:

∂k(p) =
∑

q∈Critk−1(f)

n(p, q)q. (5)

Donde el coeficiente para q ∈ Critk−1(f) en la expresión para el bordo de p, es
dado por un conteo algebraico del número de ĺıneas de flujo contenidas enWu(p)∩
Ws(q). El signo de cada ĺınea de flujo es determinado comparando la orientación
natural inducida por el campo vectorial −∇f con la orientación inducida por (4).
La Homoloǵıa de Morse para M se define como siendo la homoloǵıa del complejo
(C(f)∗; ∂).

El proposito de este trabajo es demosrar que el complejo de Morse–Witten es
un complejo de cadena cuyos grupos de homoloǵıa son isomorfos a los grupos de
homoloǵıa singular de M .

Observación 1. Dados p, q ∈ Crit(f) con n (p)−n (q) = 1, a ∈ R de modo que
no hay valores cŕıticos para f en el intervalo

(
f(q), f(p)

)
, el coeficiente para q en

la expresión para el bordo del punto p, que aparece en (5), coincide con el número
de intersección de las esferas f−1(a) ∩ Wu(p), f−1(a) ∩ Ws(q) en f−1(a). En
efecto, el número de intersección de tales esferas es dado por el conteo algebraico
de los puntos en el conjunto finito Wu(p)∩Ws(q)∩ f−1(a), en que el signo de un
punto x es positivo, si el isomorfismo:

Tx
(
Wu(p) ∩ f−1(a)

) πdi(x)−−−−−→ Tx
(
f−1(a)

)

Tx
(
Ws(q) ∩ f−1(a)

)

es positivo; caso contrario, es negativo. Por otro lado, la aplicación Tx
(
f−1(a)

)
π−−→ TxM/Tx

(
Ws(q)

)
induce un isomorfismo:

Tx
(
f−1(a)

)

Tx
(
f−1(a) ∩Ws(q)

) '−−→ TxM

Tx
(
Ws(q)

) . (6)

Como el espacio vectorial TxM/Tx
(
Ws(q)

)
es orientado, empleando el isomorfis-

mo (6) es posible determinar cuando una base para Tx(f−1(a))/Tx
(
Ws(q)

)
es po-

sitiva o negativa. A saber, si (b1, . . . , bk−1) es una base para el espacio Tx
(
Wu(p)∩

f−1(a)
)

tal que (−∇f(x), b1, . . . , bk−1) sea una base positiva de Tx
(
Wu(p)

)
. Luego

la ĺınea de flujo σ pasando por el punto x ∈ Wu(p)∩Ws(q), tiene signo positivo si,
y solamente si, [b1], . . . , [bk−1] es una base positiva de TxM/Tx

(
Ws(q)

)
. Por otro

lado, si (b1, . . . , bk−1) es una base positiva para Tx
(
Wu(p)∩ f−1(a)

)
, entonces un

punto x ∈ Wu(p)∩Ws(q) tiene signo positivo si, y solamente si, [b1], . . . , [bk−1] es
una base positiva para el espacio Tx(f−1(a))/Tx

(
Ws(q)∩ f−1(a)

)
si, y solamente

si, [b1], . . . , [bk−1] es una base positiva para el espacio TxM/Tx
(
Ws(q)

)
.



Homoloǵıa de Morse 23

Las funciones f : M → R cuyos valores cŕıticos están ordenados de acuerdo
a los ı́ndices de los correspondientes puntos cŕıticos, i.e., f(p) = f(q) siempre
que los respectivos ı́ndices ind (p), ind (q) sean iguales, y f(p) > f(q) cuando
ind (p) > ind (q) son llamadas funciones de Smale. A diferencia de las funciones
de Morse, el conjunto de las funciones de Smale no necesariamente es un conjunto
denso en el espacio de las funciones continuas M → R, [4]. Sin embargo, se tiene
el siguiente resultado adaptado de ideas encontradas en [7].

Teorema 2. Sea f : M → R una función de Morse satisfaciendo la condición de
Morse-Smale de orden cero. Entonces existen una función de Morse f̃ : M → R
y una métrica Riemanniana g̃ en M tales que el gradiente de f respecto a g
coincide con el gradiente de f̃ respecto a g̃.

Actualmente es posible mostrar que la función f̃ del teorema anterior es
auto–indexante, i.e., satisface la condición adicional f̃(p) = ind (p) para cada
punto cŕıtico p. Dado que el complejo de Morse–Witten asociado a la función
f : (M, g) → R depende exclusivamente del campo gradiente ∇f , con la nota-
ción del Teorema anterior, el complejo de Morse–Witten asociado con la función
f : (M, g) → R coincide con el complejo de Morse–Witten asociado a la función
f̃ : (M, g̃)→ R. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad con el fin de estudiar la
homoloǵıa de Morse en la variedad M , es posible asumir que f : M → R es una
función de Morse auto–indexante que satisface la condición de Morse-Smale de
orden 1.

Sea k > 0, bajo la suposiciones anteriores, el subnivel fk−1 es un retrato por
deformación (fuerte) del conjunto fk \Critk. Por lo tanto, se tiene un isomorfismo
en homoloǵıa

H
(
fk, fk−1

) ∼= H
(
fk, fk \ Critk

)
. (7)

inducido por inclusión. Si Critk = {p1, p2, . . . , ps} y escogemos conjuntos abiertos
disjuntos (Ui)

s
i=1 en M tales que pi ∈ Ui, i = 1, . . . , r. Sean U = ∪si=1Ui y

U∗ = ∪si=1Ui\{pi}. Dado que Critk es un subconjunto cerrado del abierto relativo
U ∩fk de fk, como consecuencia del principio de escisión, obtenemos el siguiente
isomorfismo en homoloǵıa inducido por inclusión

H
(
fk ∩ U, fk ∩ U∗

) ∼= H
(
fk, fk \ Critk

)
. (8)

Además,

H
(
fk ∩ U, fk ∩ U∗

) ∼=
s⊕

i=1

H
(
fk ∩ Ui, (fk ∩ Ui) \ {pi}

)

∼=
s⊕

i=1

H
(
fk, fk \ {pi}

)
.

(9)

Como consecuencia de los isomorfismos (7), (8), (9) se obtiene un isomorfismo

H
(
fk, fk−1

) ∼=
s⊕

i=1

H
(
fk, fk \ {pi}

)
. (10)



24 C. Maŕın

El Lema de Morse garantiza la existencia de un conjunto abierto entorno de cada
punto pi ∈ Critk en fk el cual es homeomorfo a una vecindad del origen en el
cono:

C = {(x, y) ∈ Rk × Rn−k : ‖x‖ ≥ ‖y‖},
por medio de un homeomorfismo que mapea el punto pi sobre el origen. Luego

H(fk, fk \ {pi}) ∼= H(C,C \ {0}) ∼= H(Rk,Rk \ {0}), (11)

Por lo tanto, para cada p ∈ Critk

Hi(f
k, fk \ {p}) ∼=

{
Z, i = k
0, i 6= k

Sigue de (10) que

Hi(f
k, fk−1) ∼=

{
⊕|Critk|Z, i = k

0, i 6= k

Como consecuencia se tiene que los subniveles cerrados (fk)k≥0 asociados a la
función f forman un buena filtración para la variedad M . Por lo tanto, la ho-
moloǵıa del complejo de cadena asociado con esta filtración es isomorfa con la
homoloǵıa singular de M (ver [10]).

Observación 2. Como consecuencia del isomorfismo (11), se tiene

H(Wu(pi),Wu(pi) \ {pi}) ∼= H(Rk,Rk \ {0}) ∼= H(fk, fk \ {pi}). (12)

4 Teorema fundamental

Dedicamos esta sección a mostrar el resultado principal de este trabajo, a saber:

Teorema 3. Sea f : M → R una función de Morse auto–indexante, definida en
una variedad Riemanniana compacta (M, g) satisfaciendo la condición de Morse–
Smale de orden 1. Entonces el complejo de Morse–Witten (Ck(f), ∂k)k∈Z es un
complejo de cadena, el cual es isomorfo al complejo de cadena singular de M .

Como consecuencia de lo observado en la sección anterior, para obtener el
resultado deseado, es suficiente probar que el complejo de cadena asociado con la
filtración (fk)k≥0 de f , es isomorfo al complejo de Morse–Witten de f . Para esto,
consideremos fija una función f : M → R como en el enunciado del Teorema 3.
Para cada k ≥ 0 construiremos un isomorfismo: ρ : Ck(f)→ Hk(f

k, fk−1) tal que
el diagrama:

Ck(f)
ρ //

∂k
��

Hk(f
k, fk−1)

∂∗
��

Ck−1(f) ρ
// Hk−1(fk, fk−1)

(13)



Homoloǵıa de Morse 25

sea conmutativo.

Sea k ≥ 0 un número entero, empleando los isomorfismos (10) y (12) se define un
isomorfismo:

⊕

pi∈Critk

Hk (Wu(pi),Wu(pi)
∗) ∼= Hk(f

k, fk−1)

requiriendo la conmutatividad del diagrama:

⊕

pi∈Critk

Hk

(
Wu(pi),Wu(pi)

∗)

ϕ
**UUUUUUUUUUUUUUUU

∼= //
⊕

pi∈Critk

Hk

(
fk, fk \ {pi}

)

Hk(f
k, fk−1)

∼= (10)

OO

(14)

donde empleamos la notación Wu(p)∗ =Wu(p) \ {p}.
Dado p ∈ Crit(f), escogiendo una orientación para el espacio vectorial TpWu(p),

se obtiene un generador Op para el grupo ćıclico infinito Hk

(
Wu(p),Wu(p)∗

)
; y

por lo tanto un isomorfismo:

Ck(f)
'−−→

⊕

pi∈Critk

Hk

(
Wu(pi),Wu(pi)

∗). (15)

Definimos ρ como siendo el isomorfismo obtenido por la composición del isomor-
fismo (15) con el isomorfismo ϕ que aparece en el diagrama (14). Con la notación
y terminoloǵıa anterior, la conmutatividad del diagrama (13) se obtiene si para
cada p ∈ Critk, cada q ∈ Critk−1 vale la igualdad:

q̂
(
∂k(p)

)
= q̂
(
ρ−1 ◦ ∂∗ ◦ ρ(p)

)

donde q̂ : Ck−1(f)→ Z es la aplicación que da el coeficiente en q.

Para cada q ∈ Critk−1, como consecuencia de la definición de ρ y de la conmuta-
tividad del diagrama:

⊕

qi∈Critk−1

Hk−1

(
Wu(qi),Wu(qi)

∗) ∼= //
⊕

qi∈Critk−1

Hk−1(fk−1, fk−1 \ {qi})

Hk−1

(
Wu(q),Wu(q)∗

)
i∗

OO

∼=
// Hk−1(fk−1, fk−1 \ {q})

i∗

OO



26 C. Maŕın

se tiene que el diagrama:

Hk−1(fk−1, fk−2)
i∗ //

ρ−1

��

Hk−1

(
fk−1, fk−1 \ {q}

)

Ck−1(f)

q̂

��

Hk−1

(
Wu(q),Wu(q)∗

)
'
OO

'
��

Z
Id

// Z

(16)

es conmutativo, donde el isomorfismo entre Z y Hk−1

(
Wu(q),Wu(q)∗

)
es asociado

a la orientación escogida en Wu(q), i.e., mapea Oq en 1.

Observación 3.

1. Para p ∈ Critk, sigue de la definición de ρ, que el homeomorfismo f1 defi-
nido por la composición:

Z

f1

((RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR
' // Hk

(
Wu(p),Wu(p)∗

) i∗ //
⊕

pi∈Critk

Hk

(
Wu(pi),Wu(pi)

∗)

ϕ

��
Hk(f

k, fk−1)

∂∗
��

Hk−1(fk−1, fk−2)

mapea 1 sobre ∂ ∗
(
ρ(p)

)
.

2. Para q ∈ Critk−1, el homeomorfismo f3 definido por la composición:

Hk−1(fk−1, fk−2)
i∗ //

f3

%%J
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ

Hk−1

(
fk−1, fk−1 \ {q}

)

'
��

Hk−1

(
Wu(q),Wu(q)∗

)

'
��
Z

coincide con q̂◦ρ−1. Ver diagrama (16). Luego la composición f3◦f1 mapea
1 sobre q̂

(
ρ−1∂∗ρ(p)

)
.

Dado a ∈ R tal que k − 1 < a < k, para cada p ∈ Critk, cada q ∈ Critk−1,
considere el diagrama:



Homoloǵıa de Morse 27

Z Id //

f1

��

Z

'
��

H̃k−1

(
f−1(a) ∩Wu(p)

)

i∗
��

Hk−1(fk−1, fk−2)

f3

��

Hk−1

(
f−1(a), f−1(a) \Ws(q)

)

%

��
H0

(
f−1(a) ∩Ws(q)

)

⊕
��

Z
Id

// Z

(17)

donde el isomorfismo Z ' H̃k−1(f−1(a) ∩ Wu(p)) es asociado a la orientación
en la esfera f−1(a) ∩ Wu(p) determinada por Op. i.e., mapea 1 en α[k−1]. La
columna izquierda del diagrama (17) mapea 1 sobre q̂

(
ρ−1∂∗ρ(p)

)
y la columna

de la derecha mapea 1 en el número de intersección de las esferas f−1(a)∩Wu(p)
y f−1(a) ∩ Ws(q) en la subvariedad f−1(a), el cual es el enetero q̂ (∂∗(p)). Por
lo tanto, para obtener la conmutatividad del diagrama (13), basta mostrar la
conmutatividad del diagrama (17).

Para establecer la conmutatividad del diagrama (17), construiremos un dia-
grama conmutativo equivalente a éste. Para este fin procedemos como sigue: fije-
mos números reales a, b tales que k − 1 < a < b < k y puntos cŕıticos p ∈ Critk,
q ∈ Critk−1. Como consecuencia del Teorema 1, se tiene un isomorfismo:

Hk−1

(
f b, f b \Ws(q)

) %−−→ H0

(
f b, f b \Ws(q)

)
.

además, una diagrama conmutativo:

Hk−1

(
f b, f b \Ws(q)

) % // H0

(
f b ∩Ws(q)

)

Hk−1

(
f1(a), f−1(a) \Ws(q)

)
i∗

OO

%
// H0

(
f−1(a) ∩Ws(q)

)
i∗

OO

Denotamos por f2, f4, f5 los homeomorfismos definidos a seguir:

Z

f2

44
' // H̃k−1

(
f−1(a) ∩Wu(p)

) i∗ // Hk−1

(
f b, f b \Ws(q)

)



28 C. Maŕın

Hk−1

(
f b, f b \Ws(q)

)

f4

77
% // H0

(
f b \Ws(q)

) ' // Z

Hk−1

(
f−1(a), f−1(a)∗

)

f5

66
% // H0

(
f−1(a) ∩Ws(q)

) ⊕ // Z

Donde empleamos la notación f−1(a)∗ = f−1(a) \ Ws(q), además el isomor-
fismo Z ' H̃k−1(f−1(a) ∩ Wu(p)) es asociado con la orientación en la esfera
f−1(a) ∩Wu(p) determinada por Op y el isomorfismo % tiene signo definido por
la orientación transversal en Ws(q).

Con la notación y terminoloǵıa anterior, la conmutatividad del diagrama (17)
se establace a partir de la conmutatividad del siguiente diagrama:

Z

f2

��

'
**UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

f1

ttjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

Hk−1(fk−1, fk−2)

i∗

))TTTTTTTTTTTTTTT

f3

  A
AA

AA
AA

AA
AA

AA
AA

AA
AA

AA
AA

AA
AA

AA
H̃k−1

(
f−1(a) ∩Wu(p)

)

i∗
��

i∗

ttiiiiiiiiiiiiiiii

Hk−1

(
f b, f b \Ws(q)

)

f4

��

Hk−1

(
f−1(a), f−1(a)∗

)i∗oo

f5

wwppppppppppppppppppppppppp

Z
(18)

Es claro que la conmutatividad del cuadrado en la parte superior derecha es una
consecuencia inmediata de la funtorialidad de la homoloǵıa singular. Por lo tanto,
resta mostrar la conmutatividad de los triángulos que aparecen en el diagrama.

Observación 4.

Dado p ∈ Critk, como Wu(p) es un espacio contráctil, la secuencia larga en
homoloǵıa del par

(
Wu(p),Wu(p)∗

)
induce un isomorfismo en homoloǵıa:

Hk

(
Wu(p),Wu(p)∗

) ∂∗−−−→ H̃k−1

(
Wu(p)∗

)
,

además la esfera Wu(p) ∩ f−1(a) es un retrato por deformación del espacio
Wu(p)∗, luego la aplicación inclusión induce un isomorfismo en homoloǵıa:

H̃k−1

(
Wu(p) ∩ f−1(a)

) i∗−−−→ H̃k−1

(
Wu(p)∗

)
.

Finalmente, el homeomorfismo en homoloǵıa Hk

(
f b
) i∗−−−→ Hk(f

k \ Critk) indu-
cido por inclusión es un isomorfismo.



Homoloǵıa de Morse 29

Lema 2. El siguiente diagrama es conmutativo:

Z
f2

''PPPPPPPPPPPPP
f1

xxpppppppppppp

Hk−1

(
fk−1, fk−2

)
i∗

// Hk−1

(
f b, f b \Ws(q)

)

Demostración. El diagrama es equivalente con el siguiente diagrama conmutati-
vo:

Z Id //

'
��

Z

'
��

Hk

(
Wu(p),Wu(p)∗

)

i∗
��

∂∗
'
// H̃k−1

(
Wu(p)∗

)

i∗
��

H̃k−1

(
f−1(a) ∩Wu(p)

)i∗
'

oo

i∗
��

Hk(f
k, fk∗ )

∂∗ // Hk−1(fk∗ , f
b
∗) Hk−1

(
f b, f b∗

)'
i∗

oo

Hk

(
fk, f b

) ∂∗

55kkkkkkkkkkkkkkki∗

'
iiSSSSSSSSSSSSSS

Hk−1(fk−1, fk−2)

i∗

OO

Hk(f
k, fk−1)

i∗'

OO

∂∗

55jjjjjjjjjjjjjjj

'
i∗

]];;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

Lema 3. Con la notación y la terminoloǵıa anterior. El diagrama:

Hk−1

(
Wu(q),Wu(q)∗

) i∗ //

'
''PPPPPPPPPPPPPP

Hk−1

(
f b, f b∗

)

f4
yyssssssssss

Z

es conmutativo. Además el isomorfismo Hk−1

(
Wu(q),Wu(q)∗

)
' Z es asocido a

la orientación transversal en Wu(q).

Demostración. Como n (q) = k − 1, el conjunto Wu(q) siendo homeomorfo a
Rk−1 puede ser identificado con algún conjunto abierto de la esfera Sk−1. Además,



30 C. Maŕın

Ws(q) ∩ f b tiene codimensión k − 1 en f b. Luego el diagrama:

H̃k−1(Sk−1) '
i∗ //

φ

''OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
Hk−1(Sk−1, Sk−1 \ {q}) Hk−1(Wu(q),Wu(q)∗)'oo

i∗
��

Hk−1

(
f b, f b∗

)

%

��
H0

(
f b ∩Ws(q)

)

'
��
Z

calcula el número de intersección de la aplicación inclusión Sk−1 ⊃ Wu(q) −→ f b

con Ws(q) ∩ f b. Es claro que este número es 1, o sea, que la función compuesta
f4 ◦ i∗ lleva Oq en 1.

Lema 4. Con la notación y la terminoloǵıa anterior. El diagrama:

Hk−1

(
fk−1, fk−2

) i∗ //

f3
''NNNNNNNNNNNN

Hk−1

(
f b, f b∗

)

f4
yyssssssssss

Z

es commutativo.

Demostración. El diagrama es equivalente con el siguiente diagrama conmutati-
vo:

Hk−1(fk−1, fk−2)
i∗ //

i∗
��

Hk−1

(
f b, f b∗

)

%

��

Hk−1(fk−1, fk−1 \ {q})

Hk−1

(
Wu(q),Wu(q)∗

)
i∗ '
OO i∗

::uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

'
��

H0

(
f b ∩Ws(q)

)

'
��

Z
Id

// Z

cuya conmutatividad es garantizada por el Lema 3 y la funtorialidad de la homo-
loǵıa singular.



Homoloǵıa de Morse 31

Lema 5. El siguiente diagrama:

Hk−1

(
f b, f b∗

)

f4
%%KKKKKKKKKK

Hk−1

(
f−1(a), f−1(a)∗

)i∗oo

f5
vvnnnnnnnnnnnnnn

Z

es conmutativo.

Demostración. El diagrama es conmutativo pues es equivalente al siguiente dia-
grama conmutativo:

Hk−1

(
f b, f b∗

)

%

��

Hk−1

(
f−1(a), f−1(a) \Ws(q)

)i∗oo

%

��
H0

(
f b ∩Ws(q)

)

'
��

H0

(
f−1(a) ∩Ws(q)

)i∗oo

⊕
��

Z Z
Id

oo

Referencias

[1] Bott R.: An aplication of the Morse Theory to the topology of Lie Groups.
Bull. Soc. Math. France 84 (1956), 251–281.

[2] Bott R., Samelson H.: An aplication of the Theory of Morse to Symmetric
Spaces. Amer. J. Math. 80 (1958), 964–1029.

[3] Dubrovin B.A., Fomenko A.T., Novikov S.P.: Modern Geometry - Methods
and Applications. Vol II, Springer-Verlag, (1985).

[4] Dubrovin B.A., Fomenko A.T., Novikov S.P.: Modern Geometry - Methods
and Applications. Vol III, Springer-Verlag, (1985).

[5] Floer A.: Witten’s Complex and Infinite Dimensional Morse Theory. J. Diff.
Geom 30 (1989), 207–221.

[6] Mawhin J., Willem M.: Critical Point Theory and Hamiltonian Systems.
Springer-Verlag, (1989).

[7] Milnor J.: Lectures on the h-Cobordism Theorem. Princeton University Press
(1965).

[8] Milnor J.: Morse Theory. Princeton University Press (1973).



32 C. Maŕın

[9] Morse M.: The foundations of a theory of the calculus of variations in the
large m–space. Trans. Am. Math. Soc., (1929).

[10] Munkres J. R.: Elements of Algebraic Topolgy. The Benjamin/Cummings
Publishing Company, Inc., (1984).

[11] Palis Jr. J.: Introdução Aos Sistemas Dinâmicos. IMPA (1975).

[12] Palais R. S., Terng Chuu-lian.: Critical Point Theory and Submanifolds Geo-
metry, Lecture Notes in Mathematics n. 1353, Springer-Verlag, (1988).

[13] Pollack A., Guillemin V.: Diferential Topology. Pretince-Hall, (1974).

[14] Schwarz M.: Morse Homology. Progress in Math. 111, Birkhäuser, (1993).

[15] Spanier E.:t Algebraic Topology. McGraw-Hill, New York (1966).

[16] Tausk D.V., Mercuri F., Piccione P.: Notes on Morse Theory. 23◦ Colóquio
Brasileiro De Matemática, IMPA (2001).

[17] Witten E.: Supersymmetry and Morse Theory. J. Diff. Geom 17 (1982), 661–
692.

Dirección del autor

Carlos Alberto Maŕın Arango — Departamento de Matemáticas, Universidad de An-

tioquia, Medelĺın - Colombia

e-mail: camara@matematicas.udea.edu.co