Universidad de Antioquia Instituto de Matemáticas Música y Matemáticas Trabajo de grado para optar al t́ıtulo de Matemático Autor: Juan Andrés Herrera Diossa Asesores: Juan Diego Vélez (Universidad Nacional de Colombia) Luis F. Echeverri (Universidad de Antioquia) 2025 2 Índice general 1. Antecedentes Históricos 7 2. Introducción a los sistemas musicales 11 2.1. El Sistema Temperado Dodecafónico . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Transformaciones de Acordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Otras Transformaciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . 37 3. Eṕılogo 43 Bibliograf́ıa 44 3 4 ÍNDICE GENERAL Agradecimientos Es muy extensa la lista de las personas en quienes he encontrado apoyo: familia, profesores, amigos... Cada uno sabe lo que ha hecho por mı́ ¡Y yo también lo sé! Quiero hacer expĺıcito mi agradecimiento al Doctor Juan Diego Vélez Cai- cedo, una de las personas más racionales que he conocido, y al Doctor Luis Fernando Echeverri Delgado, ilustre y apreciado profesor de nuestro institu- to, por ser mis orientadores en este trabajo. ¡A todos, gracias! 5 6 ÍNDICE GENERAL Caṕıtulo 1 Antecedentes Históricos En la edad media las artes (oficios) estaban separadas en artes serviles y artes liberales, las primeras propias de los esclavos y las segundas cultivadas por los hombres libres. Estas últimas se divid́ıan en dos grupos de disciplinas: uno concerniente a las letras, llamado trivium, conformado por la gramática, la retórica y la dialéctica, y el otro relacionado con las ciencias (matemáticas), llamado quadrivium, compuesto por la aritmética, la geometŕıa, la astronomı́a (astroloǵıa) y la música. Hoy, para algunos, puede parecer extraño que la música se encuentre en el segundo grupo, el de las ciencias, pero desde la antigüedad la teoŕıa musical ha tenido un carácter matemático que conserva hasta nuestros d́ıas. Ya los griegos desde el siglo VI AC hasta el II DC hab́ıan incluido la música den- tro de las matemáticas y construyeron diversos sistemas musicales basándose en relaciones numéricas, geométricas y astronómicas. Los pitagóricos usaron las relaciones entre los números 1, 2, 3 y 4 (la tetractys) para generar una escala musical, con 31 sonidos en cada octava, que pretend́ıan poner en con- 7 8 CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS cordancia (proporcionalidad) con las distancias y velocidades relativas entre los cuerpos celestes, dando lugar a lo que llamaban Armońıa de las Esferas [3]. Aristógenes de Tarento (siglo IV AC), quizás el más destacado teórico musical de la antigüedad, no compart́ıa la idea de que un sistema musical tuviese conexión alguna con las posiciones y movimientos de los astros. Ideó su propia escala, con 72 sonidos en cada octava, siendo la única cuyas notas se corresponden con la serie de los armónicos. [2]. Más aún, en los trabajos de Aristógenes, quien fue disćıpulo de Aristóteles y heredero de su método deductivo, puede verse un intento de axiomatización de la teoŕıa musical [7]. Por su parte Claudio Ptolomeo (siglo II DC), ampliamente conocido por su tratado de astronomı́a llamado Sintaxis Matemática o Almagesto, hizo tam- bién valiosas aportaciones a la música teórica y retomó la idea pitagórica de la relación entre música y astronomı́a, aunque su escala difiere de la de Pitágoras [9]. Estos y otros sistemas musicales de la antigüedad presentan significativas dificultades prácticas. En tiempos más recientes muchos cient́ıficos y matemáticos hicieron con- tribuciones a los fundamentos de la acústica, lo cual redundó en mejoras al diseño y construcción de los instrumentos musicales (organoloǵıa) y en una mayor comprensión de la manera como están constituidas las escalas. En 1636 Marin Mersenne publicó “Harmonie Universelle: La théorie et la practique de la musique”, donde expone cualitativamente las leyes que rigen a las cuerdas vibrantes. Más tarde, en el siglo XVIII, Euler y D’Alembert establecieron la teoŕıa matemática de la cual se deducen dichas leyes. Johann Bernoulli enunció las bases matemáticas para el estudio de la vibración de las colum- nas gaseosas encerradas en tubos (instrumentos aerófonos). Ernst Florence 9 Chladni, además de haber estudiado la vibración de placas y membranas, que son la base de muchos instrumentos de percusión, ideó un procedimien- to, diferente al utilizado por Bach y propuesto por Ramos de Pareja, para generar la escala temperada dodecafónica, cuyo intervalo generador tiene el valor numérico 12 √ 2 (ráız duodécima de dos). En el siglo XX con la aparición de la electrónica se implementó una nueva modalidad de música que no se limita a un conjunto discreto de sonidos sino que aprovecha, al menos en teoŕıa, todo el continuo de las audiofrecuencias, los tiempos, las intensidades, etc. Esta música electrónica, como fue llamada por varios compositores, ha ido ramificándose en diversas corrientes donde está presente la matemática. En una de ellas, llamada música espectral, se hace uso de la transformada de Fourier, la transformada inversa de Fourier y, en general, el análisis armónico para sintetizar composiciones. La músi- ca estocástica o aleatoria está regida por las leyes de la probabilidad, como puede apreciarse en la obra de Iannis Xenakis, quien en sus composiciones ha utilizado las cadenas de Markov, la teoŕıa de juegos, la teoŕıa cinética de gases y otros temas relacionados. En los últimos años la inteligencia ar- tificial (big data, machine learning) ha sido usada en el reconocimiento de patrones melódicos, armónicos y ŕıtmicos para emular el estilo de reconocidos compositores. Pueden citarse muchos otros ejemplos de la conexión que desde hace más de 2500 años ha existido entre música y matemáticas. En este trabajo se muestran algunos de estos ejemplos. 10 CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS Caṕıtulo 2 Introducción a los sistemas musicales El tratamiento matemático de la música comprende múltiples aspectos; sin duda uno de los más relevantes es la construcción misma de los sistemas musicales. Siendo el sonido un fenómeno f́ısico, obedece a principios y leyes que, por ser naturales, no pueden ser eludidos al hacer música. No obstante, la elección de los sonidos que han de usarse para conformar una escala es un proceso artificial, y las reglas para combinar dichos sonidos son convencionalmente escogidas según criterios prácticos y estéticos propios de cada cultura. Esto ha dado lugar a la aparición de diferentes escalas musicales en diversos lugares y épocas. El sistema o escala en que se basa la música occidental desde hace aproximadamente tres siglos, se conoce como Temperamento o Escala Temperada Dodecafónica, y su construcción es el tema de la sección 2.1. Si bien este sistema es el resultado de una larga transformación que puede 11 12 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES rastrearse hasta los antiguos griegos, en este escrito no se abordan los detalles históricos. Tampoco se ahonda en el estudio de los fenómenos acústicos que rigen la formación de escalas, solo se presentan unas indicaciones elementales que se consideran necesarias para comprender la construcción. Una vez construida una escala musical particular, es posible tomar sus elementos y tratarlos en abstracto, sin hacer alusión al hecho de que son soni- dos. Para ejemplificar esto, en la sección 2.2 se presentan algunos resultados de la Teoŕıa Transformacional, la cual consiste, grosso modo, en el estudio de las estructuras musicales mediante estructuras algebraicas. En particular se usa el grupo aditivo Z12 como base para definir las transformaciones de acordes, tales como inversiones y transposiciones. Todo esto se hace sobre la escala temperada dodecafónica, pero también se insinúa la generalización a una escala temperada cualquiera. 2.1. El Sistema Temperado Dodecafónico La música es posible gracias a que el óıdo es capaz de diferenciar so- nidos según su altura, su duración, su timbre y su intensidad. Todas estas cualidades sonoras deben cuantificarse para ser estudiadas con precisión. Un sonido es, básicamente, una superposición de ondas puras, cada una de las cuales tiene unos atributos que la caracterizan, como la frecuencia, la longitud, la amplitud, etc. Cada atributo se expresa mediante un número real positivo y una unidad de medida. Para la frecuencia, por ejemplo, la unidad de medida se llama Hertz, que se simboliza como Hz. El conjunto de todos estos atributos presentes en las ondas puras que conforman un 2.1. EL SISTEMA TEMPERADO DODECAFÓNICO 13 sonido, determina las cualidades que son percibidas por el óıdo. Todas ellas tienen gran importancia en la música, pero para los propósitos de este trabajo interesa únicamente la altura, la cual está determinada principalmente por la menor de todas las frecuencias de las ondas componentes del sonido. A esta se le denomina frecuencia fundamental, pero en adelante se le llama simplemente frecuencia. Cuanto más alta es la frecuencia (mayor número de Hertz), más alto (más agudo) es el sonido. Los pormenores de la teoŕıa de las ondas sonoras y su relación con la música pueden consultarse en cualquier tratado de acústica musical. Para una iniciación en estos temas se recomienda ver [5]. Un estudio detallado de la ecuación de onda se encuentra en [10]. Como definición puede decirse que la altura es la cualidad que permite ordenar los sonidos del grave al agudo, pero esto podŕıa ser insuficiente si no se tiene una referencia sensorial. Para formarse una idea de lo que es la altura puede ser útil escuchar un piano (un piano común tiene 88 teclas, aunque se han construido pianos de 97 y hasta de 100 teclas). Estando en la posición normal para tocar el instrumento, la frecuencia aumenta de iz- quierda a derecha, es decir, si se numeran las 88 teclas en orden ascendente de izquierda a derecha, la tecla número 2 produce un sonido más alto que la número 1, la número 3 produce un sonido más alto que la número 2, etc. La tecla número 88 es la que produce el sonido más alto (más agudo) con una frecuencia aproximada de 4186Hz, y la número 1 produce el sonido más bajo (más grave) con una frecuencia de 27,5Hz. Más adelante se muestra cómo calcular estas frecuencias. El óıdo tiene un ĺımite inferior y uno superior para la percepción de la frecuencia. Estos pueden diferir de un individuo a otro y también vaŕıan 14 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES debido a la edad y a factores ambientales, pero se acepta que el inferior está alrededor de los 20Hz y el superior es aproximadamente 20000Hz. Estos dos valores y todos los que están comprendidos entre ellos constituyen lo que se conoce como Rango de Audiofrecuencias o Espectro Audible. Por razones que se exponen más adelante, en este trabajo se fija el ĺımite inferior en 16Hz, quedando definido el espectro audible por el intervalo numérico [16, 20000]. En lo que sigue, aunque se omita la unidad de medida, se entiende que todas las frecuencias están dadas en Hertz. Para hacer música podŕıan usarse todas las infinitas frecuencias compren- didas en el espectro audible (este es el fundamento de algunos géneros que surgieron en el siglo XX). Una escala, en cambio, consta de un conjunto fini- to de audiofrecuencias. En particular, en una escala temperada estas finitas audiofrecuencias son escogidas de tal modo que el óıdo perciba la misma variación de altura entre cualquier par de frecuencias consecutivas. Esta va- riación uniforme de la altura es la caracteŕıstica esencial de estas escalas, y es de hecho lo que les da el nombre puesto que, en este contexto, temperado es sinónimo de igualado. Durante largo tiempo se buscó este temperamento o igualación de la es- cala ya que, por motivos que no se discuten aqúı, esto facilita y enriquece notablemente la práctica musical en comparación con los sistemas no tempe- rados. La variación de altura entre dos sonidos está dada por el cociente de sus frecuencias y recibe el nombre de Intervalo sonoro. Si los dos sonidos perte- necen a algún sistema musical ya establecido, se habla de Intervalo Musical. En música se clasifican los intervalos como armónicos (si las dos frecuencias 2.1. EL SISTEMA TEMPERADO DODECAFÓNICO 15 suenan simultáneamente) omelódicos (si suena una antes que la otra), y estos últimos se clasifican a su vez como ascendentes, si el segundo sonido es más alto que el primero, o descendentes, en caso contrario. Además, un intervalo, ya sea melódico o armónico, se denomina uńısono si las dos frecuencias que lo conforman son iguales. Para representar los intervalos melódicos se toma la segunda frecuencia como numerador, resultando el cociente mayor que 1 si el intervalo es ascendente, menor que 1 si es descendente, e igual a 1 si es uńısono. En este escrito interesan solo los intervalos armónicos, los cuales se representan tomando el numerador siempre mayor o igual que el denomina- dor, quedando un cociente siempre mayor o igual que 1. En adelante, dado que todos los intervalos serán armónicos, se dirá únicamente intervalo. Si f1 ≤ f2 y f3 ≤ f4 son frecuencias, entonces el intervalo entre f1 y f2 es el mismo que conforman f3 y f4 si, y solo si: f2 f1 = f4 f3 (2.1) Esto implica que si f, r ∈ R+ entonces, en el conjunto de las frecuencias de la forma frn, n ∈ Z, el intervalo entre frecuencias consecutivas es constante ya que si r ≥ 1, dicho intervalo es frn+1 frn = r, ∀n ∈ Z, y si r < 1, el intervalo es frn frn+1 = r−1, ∀n ∈ Z. De esto se concluye que si f, r ∈ R+ entonces el conjunto de las audiofrecuencias de la forma frn, con n ∈ Z, es una escala temperada. Nótese que, en ambos casos, el resultado es independiente de f , es decir, puede sustituirse f por cualquier otro real positivo y el cociente sigue siendo r o r−1, según el caso. Por tanto, lo más relevante en la construcción de una escala temperada es el valor de la constante r que determina cuál ha de ser la variación uniforme de altura entre sonidos consecutivos de la escala. 16 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES Aunque r puede ser cualquier real positivo, lo usual es tomar r = 2 1 k , para algún k ∈ Z+ previamente escogido. La explicación para que aparezca el número 2 como base es que el óıdo, debidamente entrenado, puede reconocer fácilmente cuando una frecuencia es el doble de otra e identificarlas como equivalentes, aunque no iguales. Es por eso que todas las escalas que han tenido alguna importancia en la historia (incluidas las no temperadas) se construyen intercalando algunos números entre el 1 y el 2. En general, se dice que dos frecuencias f1 ≤ f2 son equivalentes si existe un entero no negativo, m, tal que el intervalo entre ellas es f2 f1 = 2m. Adviértase que esta es una equivalencia entre frecuencias y no entre pares de frecuencias. La equivalencia entre pares de frecuencias está dada por la igualdad de sus respectivos intervalos. En una escala temperada en la que r = 2 1 k , cada frecuencia tiene la forma f(2 1 k )n, para algún n ∈ Z. Dado que para todo n ∈ Z existe un m ∈ Z tal que n = mk + j, con 0 ≤ j ≤ (k − 1), entonces cada frecuencia del sistema tiene la forma f(2 1 k )mk+j = 2m[f(2 1 k )j], (2.2) para algún m ∈ Z y 0 ≤ j ≤ (k − 1). Por tanto, la escala queda determinada por los números (2 1 k )j, con 0 ≤ j ≤ (k − 1), ya que al multiplicar estos k números por un valor conveniente de f , se consigue el conjunto de audiofrecuencias A = {f(2 1 k )j : 0 ≤ j ≤ (k− 1)}, y cada sonido del sistema es equivalente a una, y solo una, de estas k audiofrecuencias del conjunto A, mediante una potencia 2m, para algún m ∈ Z. Esta equivalencia permite identificar toda la escala con el conjunto A, al cual se le da el nombre de conjunto representativo de frecuencias. Más aún, 2.1. EL SISTEMA TEMPERADO DODECAFÓNICO 17 si B es cualquier conjunto de k audiofrecuencias, tal que cada frecuencia en A es equivalente a una, y solo una, en B, entonces B es también un conjunto representativo del sistema. Solo falta asignar valores particulares a k y a f . Se han construido escalas temperadas con k = 18, 24, 36, etc. Las obras compuestas en estas escalas microtonales, como suele llamárseles, solo pue- den ser ejecutadas en instrumentos de afinación libre, como los de cuerda frotada, o usando dispositivos electrónicos. En la música occidental, casi to- dos los instrumentos son de afinación fija y están construidos de tal manera que en ellos solo pueden ejecutarse obras compuestas en la Escala Temperada Dodecafónica, la cual corresponde a un valor de k = 12. El intervalo musi- cal entre sonidos consecutivos de esta escala recibe el nombre de Semitono Temperado Dodecafónico (o simplemente Semitono, si el contexto es claro) y su valor numérico es la constante r = 2 1 12 . Por otra parte, el valor de f , aunque fue cambiado varias veces en la historia, se fijó finalmente en 440Hz mediante la norma ISO 16 de 19751. Entonces todas las frecuencias de este sistema temperado, comúnmente llamadas notas musicales, están dadas por la expresión fn = (440)(2 1 12 )n, (2.3) donde n toma todos los valores enteros tales que 16 ≤ fn ≤ 20000. Un cálculo directo muestra que n debe estar restringido al conjunto {n ∈ Z : −57 ≤ n ≤ 1Desde que Mersenne (S. XVII) hizo notar la conveniencia de tener un patrón de afina- ción, ha habido mucha discrepancia sobre cuál debeŕıa ser ese patrón. En distintos páıses y épocas se han usado frecuencias como 435Hz o 442Hz. Aún después de la estandarización en 1975, algunas orquestas han afinado a 450Hz, y hay quienes se sienten más cómodos con 432Hz. Aunque f puede tomar cualquier valor en R+, en este escrito se usa la cifra 440Hz dado que es la establecida oficialmente por la ISO. 18 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES Frecuencia Nombre de la Nota Śımbolo (440)(2 1 12 )0 = 440 La A (440)(2 1 12 )1 ≈ 466,16 La sostenido o Si bemol A♯ o B♭ (440)(2 1 12 )2 ≈ 493,88 Si B (440)(2 1 12 )3 ≈ 523,25 Do C (440)(2 1 12 )4 ≈ 554,37 Do sostenido o Re bemol C♯ o D♭ (440)(2 1 12 )5 ≈ 587,33 Re D (440)(2 1 12 )6 ≈ 622,25 Re sostenido o Mi bemol D♯ o E♭ (440)(2 1 12 )7 ≈ 659,26 Mi E (440)(2 1 12 )8 ≈ 698,46 Fa F (440)(2 1 12 )9 ≈ 739,99 Fa sostenido o Sol bemol F♯ o G♭ (440)(2 1 12 )10 ≈ 783,99 Sol G (440)(2 1 12 )11 ≈ 830,61 Sol sostenido o La bemol G♯ o A♭ Cuadro 2.1: Nombres y śımbolos de las notas 66}. Con n = −58 se llega a la frecuencia (440)(2 1 12 )−58 ≈ 15,43Hz, que es un infrasonido, es decir, una frecuencia que está por debajo del ĺımite inferior del espectro audible. Con n = 67 se consigue la frecuencia (440)(2 1 12 )67 ≈ 21096,16Hz, que es un ultrasonido, esto es, una frecuencia que excede el ĺımite superior. Tomando n = 0, 1, 2, · · · , 11, se obtienen 12 frecuencias que forman un conjunto representativo, y cuyos nombres se presentan en el Cuadro 2.1. En breve se verá que no es exacto aplicar estos nombres a notas indi- viduales sino a conjuntos de notas equivalentes. Por ahora se usarán estos 2.1. EL SISTEMA TEMPERADO DODECAFÓNICO 19 nombres y śımbolos para hacer referencia a las frecuencias individuales del cuadro 2.1. Las aproximaciones que aparecen en la columna izquierda de ese cuadro son suficientes para que el óıdo perciba estas frecuencias afinadas. La historia completa de estos nombres y śımbolos para las notas musicales es bastante extensa para ser contada aqúı, pero es suficiente decir unas cuantas cosas. Las notas La, Si, Do, Re, Mi, Fa y Sol son llamadas Notas Naturales, las otras cinco se llaman Notas Alteradas. El sostenido, que se simboliza con ♯, es una alteración cuyo efecto es aumentar un semitono a la nota a la que se aplica, lo cual se consigue multiplicando la frecuencia de esta última por 2 1 12 . El bemol, cuyo śımbolo es ♭, es la alteración que hace lo contrario, es decir, disminuye un semitono a la nota a la que se aplica, para lo cual se multiplica la frecuencia de esta por (2 1 12 )−1. Por ejemplo, la frecuencia (440)(2 1 12 )8, co- rrespondiente al F (Fa), cuando se multiplica por 2 1 12 produce (440)(2 1 12 )9, y la frecuencia (440)(2 1 12 )10, que corresponde al G (Sol), al ser multiplicada por (2 1 12 )−1, también da como resultado (440)(2 1 12 )9. Es por eso que esta última frecuencia aparece con dos nombres: Fa sostenido y Sol bemol. Lo mismo ocurre con las restantes notas alteradas. En general, para dos notas N1 y N2 de frecuencias fn1 y fn2 , respectivamente, con n1 ≤ n2, el intervalo musical entre ellas es fn2 fn1 = (2 1 12 )n (2.4) donde n = n2 − n1 es el número de semitonos que separan a las dos notas. Esto permite calcular la frecuencia de cualquier nota del sistema a partir de cualquiera otra nota, conociendo la frecuencia de esta última y el número de semitonos que hay entre ellas. También se puede hallar el número de semi- tonos conociendo ambas frecuencias. Si N1 y N2 están separadas por un solo 20 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES semitono, entonces fn2 = fn1(2 1 12 )1, o equivalentemente, fn1 = fn2(2 1 12 )−1, es decir, N1 es N2♭ y N2 es N1♯. Por otra parte, si el número de semitonos entre N1 y N2 es múltiplo de 12, es decir, si n = 12m para algún m ∈ Z, entonces N1 y N2 son equivalentes ya que fn2 fn1 = (2 1 12 )12m = 2m, con m ∈ Z. Si m = 1, entonces el número de semitonos entre N1 y N2 es 12, y el intervalo entre ellas es fn2 fn1 = 2. Este intervalo representado por el número 2 se llama Octava, y tiene gran importancia en el sistema porque siempre delimita conjuntos representativos. Cada nota del Cuadro 2.1 es equivalente a varias frecuencias de la esca- la. Todas estas frecuencias, equivalentes entre śı, reciben el mismo nombre genérico de esa nota. Para distinguirlas se usan sub́ındices enteros no negati- vos, correspondiendo el 0 a la menor de ellas. Aśı, dos notas que forman una octava tienen el mismo nombre con sub́ındices consecutivos. Esto se ilustra en el cuadro 2.2 para las notas LA. Para cualquier entero m < −4 la expresión (440)(2m) produce un infra- sonido, y con m > 5 produce ultrasonidos. De esta manera, el La más bajo que puede percibir el óıdo es el A0 con 27,5Hz. Recuérdese que esta es la frecuencia de la tecla 1 del piano común. El La de 440Hz que se encuentra en el cuadro 2.1, y que se tomó como referencia para la construcción de la escala, es el A4, y el más alto en el espectro audible es el A9 con una frecuencia de 14080Hz. Ahora se pueden precisar más los términos y la notación. Los śımbolos que aparecen en el cuadro 2.1 (sin sub́ındices) no representan únicamente las notas individuales de la columna izquierda de ese cuadro. Cada uno de ellos representa al conjunto de todas las notas que tienen el mismo nom- 2.1. EL SISTEMA TEMPERADO DODECAFÓNICO 21 Frecuencia Nombre de la Nota Śımbolo (440)(2 1 12 )−48 = (440)(2−4) = 27,5 La0 A0 (440)(2 1 12 )−36 = (440)(2−3) = 55 La1 A1 (440)(2 1 12 )−24 = (440)(2−2) = 110 La2 A2 (440)(2 1 12 )−12 = (440)(2−1) = 220 La3 A3 (440)(2 1 12 )0 = (440)(20) = 440 La4 A4 (440)(2 1 12 )12 = (440)(21) = 880 La5 A5 (440)(2 1 12 )24 = (440)(22) = 1760 La6 A6 (440)(2 1 12 )36 = (440)(23) = 3520 La7 A7 (440)(2 1 12 )48 = (440)(24) = 7040 La8 A8 (440)(2 1 12 )60 = (440)(25) = 14080 La9 A9 Cuadro 2.2: Listado de todas las notas LA bre genérico, todas equivalentes entre śı, las cuales se diferencian por los sub́ındices. Estos conjuntos de notas equivalentes se denominan Clases de Notas, y cada nota perteneciente a una clase es un representante de la cla- se. Por ejemplo, el śımbolo A denota la clase La, cuyos representantes son todas las notas La del cuadro 2.2. El conjunto de las doce clases de notas es N = {C,C♯,D,D♯,E, F, F ♯,G,G♯,A,A♯,B}. Aunque en este conjunto se ha usado el sostenido en todas las clases de notas alteradas, es importante recor- dar que cada una de esas cinco clases tiene dos nombres, uno con sostenido y uno con bemol. La menor frecuencia de todo el sistema es: f−57 = (440)(2 1 12 )−57 ≈ 16,35Hz. Al operar los exponentes se encuentra que f−57 = 2−5[(440)(2 1 12 )3], aśı que f−57 es equivalente a la frecuencia dentro del corchete, la cual, como pue- 22 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES de verse en el cuadro 2.1, corresponde a la clase C (Do). Por tanto f−57 es también un Do, y siendo el de menor frecuencia se denota como C0 (Do0). Aunque el C0 es inaudible se han compuesto obras que incluyen este sonido, es por eso que se fijó el ĺımite inferior en 16Hz. Solo algunos órganos tubula- res, algunos pianos (de 97 teclas o más) y unos pocos instrumentos exóticos producen dicha nota. En el otro extremo está la frecuencia f66 = (440)(2 1 12 )66 ≈ 19912,13Hz, que corresponde al E♭10, que se denota también como D♯10. Todas las notas que tienen un mismo sub́ındice i < 10, forman un con- junto representativo. Además, en cada conjunto representativo formado solo por las frecuencias que comparten un sub́ındice i, la nota más baja es Ci y la más alta es Bi. Entonces el cambio de sub́ındice siempre ocurre entre el Si y el Do. Esto resulta aśı porque la frecuencia más baja de todo el sistema es un Do. Este ordenamiento coincide con la manera habitual de representar la escala, con el Do como nota inicial y el Si como nota final. En el cuadro 2.3 se presentan todas las notas que quedan dentro de la octava que va desde el C0 hasta el C1. Como se ve en el Cuadro 2.3, todas las notas con sub́ındice 0 forman un conjunto representativo y quedan dispuestas en el orden habitual. Con la ayuda de los Cuadros 2.3 y 2.1 es posible hallar la frecuencia de cualquier nota de la escala sabiendo su nombre genérico (la clase a la cual pertenece) y el sub́ındice respectivo, y rećıprocamente, hallar el nombre subindizado conociendo la frecuencia. Aśı queda construida la escala temperada dodecafónica con un total de 124 notas, desde el C0 hasta el E♭10, algo más de 10 octavas, distribuidas en 2.1. EL SISTEMA TEMPERADO DODECAFÓNICO 23 Frecuencia Śımbolo (440)(2 1 12 )−57 = (2−5)[(440)(2 1 12 )3] ≈ 16,35 C0 (440)(2 1 12 )−56 = (2−5)[(440)(2 1 12 )4] ≈ 17,32 C♯0 o D♭0 (440)(2 1 12 )−55 = (2−5)[(440)(2 1 12 )5] ≈ 18,35 D0 (440)(2 1 12 )−54 = (2−5)[(440)(2 1 12 )6] ≈ 19,45 D♯0 o E♭0 (440)(2 1 12 )−53 = (2−5)[(440)(2 1 12 )7] ≈ 20,60 E0 (440)(2 1 12 )−52 = (2−5)[(440)(2 1 12 )8] ≈ 21,83 F0 (440)(2 1 12 )−51 = (2−5)[(440)(2 1 12 )9] ≈ 23,12 F♯0 o G♭0 (440)(2 1 12 )−50 = (2−5)[(440)(2 1 12 )10] ≈ 24,50 G0 (440)(2 1 12 )−49 = (2−5)[(440)(2 1 12 )11] ≈ 25,96 G♯0 o A♭0 (440)(2 1 12 )−48 = (2−4)[(440)(2 1 12 )0] ≈ 27,50 A0 (440)(2 1 12 )−47 = (2−4)[(440)(2 1 12 )1] ≈ 29,14 A♯0 o B♭0 (440)(2 1 12 )−46 = (2−4)[(440)(2 1 12 )2] ≈ 30,87 B0 (440)(2 1 12 )−45 = (2−4)[(440)(2 1 12 )3] ≈ 32,70 C1 Cuadro 2.3: Octava C0 − C1 las 12 clases del conjunto N . En la práctica no se usan todos estos sonidos. La frecuencia 4186Hz, producida por la tecla 88 del piano común, es el C8. Pocas obras musicales y pocos instrumentos alcanzan notas más altas que esta. Los órganos tubulares más grandes pueden llegar hasta el C10 con una frecuencia aproximada de 16744,04Hz. Se finaliza esta sección con una observación sobre el concepto de variación de altura entre dos sonidos, del cual depende la construcción de la escala, y toda la música en general. A la variación de altura se le dio el nombre de 24 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES intervalo sonoro y se definió como el cociente de las frecuencias. A menudo se utiliza la expresión diferencia de altura para referirse al intervalo entre dos sonidos, y quizá por esta razón es común que se pretenda definir un intervalo como la diferencia (resta) de las frecuencias involucradas. Con un ejemplo se muestra que la diferencia (resta) de frecuencias no es una manera correcta de definir la diferencia (variación) de altura. Considérense las notas A1, A2, A6 y A♯6, de frecuencias (440)(2 1 12 )−36 = 55, (440)(2 1 12 )−24 = 110, (440)(2 1 12 )24 = 1760 y (440)(2 1 12 )25 ≈ 1864,66, res- pectivamente. Entre el A1 y el A2 el óıdo entrenado percibe 12 semitonos (una octava), y entre el A6 y el A♯6 se escucha solo 1 semitono. Pero al efectuar las respectivas restas se obtiene: 110 − 55 = 55 y 1864,66 − 1760 = 104,66. En este caso, un intervalo 12 veces menor que otro tiene asociada una mayor diferencia de frecuencias. Cuando se define un intervalo como el cociente de frecuencias, todos los cálcu- los numéricos concuerdan con la percepción auditiva. Lo que se observa es que el óıdo responde logaŕıtmicamente a la variación de altura. Si f1 ≤ f2 y f3 ≤ f4 son frecuencias, y f2 f1 = f4 f3 , entonces loga ( f2 f1 ) = loga ( f4 f3 ) (2.5) de donde logaf2 − logaf1 = logaf4 − logaf3 (2.6) Esto significa que un intervalo sonoro śı está asociado con una diferencia, en el sentido de la resta de números, pero no es la diferencia de las frecuencias sino de sus logaritmos. En la escala temperada, dada la importancia que tiene el número 2, se toma a = 2. 2.2. TRANSFORMACIONES DE ACORDES 25 Considérense nuevamente las frecuencias f−36 = (440)(2 1 12 )−36, f−24 = (440)(2 1 12 )−24, f24 = (440)(2 1 12 )24 y f25 = (440)(2 1 12 )25, correspondientes a las notas A1, A2, A6 y A♯6, respectivamente. El intervalo entre A1 y A2 es el cociente f−24 f−36 = 21, y entre A6 y A♯6 es f25 f24 = 2 1 12 . Ahora, log22 1 = 1 y log22 1 12 = 1 12 . Esto concuerda con la percepción auditiva, ya que el primer intervalo, una octava, es 12 veces mayor que el segundo, un semitono. 2.2. Transformaciones de Acordes Uno de los temas de mayor importancia en la música es el estudio de los acordes, llamado Armońıa. En esta sección se tratan aspectos básicos de este tema, como son algunas transformaciones de los acordes más elementales en el sistema temperado dodecafónico. El lenguaje de esta sección puede diferir, al menos parcialmente, de la terminoloǵıa usada comúnmente en música. Llamaremos acorde a cualquier conjunto de tres o más clases de notas. El con- junto {F♯,A♯, C♯}, por ejemplo, es un acorde llamado Fa sostenido mayor. Siendo un conjunto, sus elementos pueden ser escritos en cualquier orden: {F♯,A♯, C♯} = {A♯, F ♯, C♯} = {C♯, F ♯, A♯}, etc. Cualquier conjunto de no- tas que tenga al menos un representante de cada clase del acorde, y que no tenga alguna nota de otra clase, es un representante del acorde. El conjunto {F♯3, F ♯5, A♯1, C♯2, C♯8, C♯9} es un representante de Fa sostenido mayor. El nombre de un acorde se compone de dos partes: la primera es el nombre de una de las clases que lo conforman, la segunda parte es una indicación de especie. A la clase que aparece en el nombre del acorde se le conoce como clase fundamental o ráız. La clase Fa sostenido es la fundamental del acorde 26 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES Fa sostenido mayor. La especie se indica con palabras como mayor, menor, aumentado, disminuido, etc, y está determinada por la diferencia de semito- nos entre la fundamental y las otras clases del acorde. Más adelante se dan definiciones que aclaran esto. Las Transformaciones son funciones definidas entre conjuntos de acordes. Lo que justifica su estudio es que mediante ellas se puede obtener, a partir de un acorde dado, una secuencia de acordes que sirva como base armónica de una obra, lo que puede tomarse como apoyo en el análisis o la composición musical. Las transformaciones involucran operaciones como “sumar” o “res- tar” un número dado de semitonos a una o más clases de notas. Antes de comenzar el estudio de las transformaciones conviene precisar el significado de tales operaciones. En la sección 2.1 se vio que el intervalo entre dos notas N1 y N2, de frecuencias respectivas fn1 y fn2 , con n1 ≤ n2, es (2 1 12 )n, donde n = n2 − n1 es el número de semitonos entre N1 y N2. Aśı que fn2 = (fn1)(2 1 12 )n y fn1 = (fn2)(2 1 12 )−n. Esto es lo que se entiende por “sumar n semitonos a N1”para obtener N2, o “sumar −n semitonos a N2”para obtener N1. En este último caso también se dice “restar n semitonos a N2”. Pero para no operar directamente con las frecuencias, se le asigna a cada nota de la escala un número que la represente. Lo más conveniente es asignar el número de semitonos respecto al Do0, por ser la nota más baja de todo el sistema, es decir, se toma el Do0 en el lugar de N1, con lo cual n1 = −57, y a cada nota N2 se le asigna el número n = n2 − (−57) = n2 + 57. Por ejemplo, si N2 es el Sol♭3 entonces n2 = −15, aśı que el número asignado al Sol♭3 es n = −15 + 57 = 42, que es el número de semitonos desde el Do0 hasta 2.2. TRANSFORMACIONES DE ACORDES 27 el Sol♭3. Si N2 es el mismo Do0 entonces n = −57 + 57 = 0, y si N2 es el Mi♭10, la nota más alta del sistema, entonces n = 66 + 57 = 123. Aśı, cada una de las 124 notas de la escala queda representada por un número, y solo uno, del conjunto τ = {n ∈ Z : 0 ≤ n ≤ 123}. Con estas asignaciones, sumar semitonos con notas se convierte en una suma ordinaria de números enteros, lo cual es más sencillo que operar con las frecuencias. Una parte importante de la armońıa consiste en determinar cuál representante de cada acorde es más apropiado en relación con la melod́ıa. Sin embargo, en las transformaciones que se definen más adelante, interesan los acordes y no sus representantes. Por ello, en dichas transformaciones se suman semitonos a las clases de notas, y no a las notas mismas. Sumar un número de semitonos a una clase de notas significa que dicho número puede sumarse a cualquiera de las notas de esa clase. Si se suma un mismo número a notas de una misma clase X, se obtienen notas de una misma clase Y . Considérense, por ejemplo, las notas A♯2 y A♯5, cuyos nuúmeros asignados son 34 y 70, respectivamente. Sumar −20 semitonos (restar 20 semitonos) a estas notas es efectuar las sumas 34−20 = 14 y 70−20 = 50, obteniendo respectivamente las notas D1 y D4. Esto es consecuencia de que dos notas son equivalentes (pertenecen a la misma clase de notas) si, y solo si, sus respectivos números asignados son congruentes módulo 12. Por ejemplo, el conjunto de los números asignados a las diez notas Sol es Gτ = {7, 19, 31, 43, 55, 67, 79, 91, 103, 115} = 7 ∩ τ , donde 7 es la clase de equivalencia del 7 (mod12). 28 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES En total hay doce de estos conjuntos: Cτ = 0 ∩ τ, (2.7) C♯τ = D♭τ = 1 ∩ τ, (2.8) Dτ = 2 ∩ τ, (2.9) D♯τ = E♭τ = 3 ∩ τ, (2.10) Eτ = 4 ∩ τ, (2.11) Fτ = 5 ∩ τ, (2.12) F♯τ = G♭τ = 6 ∩ τ, (2.13) Gτ = 7 ∩ τ, (2.14) G♯τ = A♭τ = 8 ∩ τ (2.15) Aτ = 9 ∩ τ, (2.16) A♯τ = B♭τ = 10 ∩ τ, (2.17) Bτ = 11 ∩ τ (2.18) La operación de sumar semitonos a las clases de notas es una acción del grupo aditivo Z12 sobre el conjunto Nτ = {Cτ , C♯τ , Dτ , · · · , Bτ}, heredada de la suma usual en Z12 y definida de la siguiente manera: para cada Xτ ∈ Nτ y cadam ∈ Z12,Xτ+m = Yτ , dondeXτ ⊆ n ∈ Z12 y Yτ ⊆ n+m = n+m. Por facilidad se ha usado el mismo śımbolo, +, tanto para la acción como para la suma en Z12 y la suma en Z. Para verificar que esta función es una acción, sea Xτ ⊆ n ∈ Z12, entonces la primera condición de acción de grupo se cumple ya que Xτ +0 = Yτ , donde Yτ ⊆ n+ 0 = n, pero cada elemento de Z12 contiene un único elemento de Nτ , luego Yτ = Xτ . También se cumple la segunda con- dición de acción puesto que (Xτ +m) + p = Yτ + p = Zτ , con Yτ ⊆ n+m y 2.2. TRANSFORMACIONES DE ACORDES 29 Zτ ⊆ (n+m) + p = n+ (m+ p), por tanto Zτ = Xτ+m+ p = Xτ+(m+p). La definición de acción de un grupo sobre un conjunto y otras nociones algebraicas pueden consultarse en [6]. Como es usual, para relajar la es- critura, se omite la barra superior en las clases de equivalencia, quedan- do representado Z12 (y de paso Nτ ) por el conjunto de los doce residuos, ρ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Entendiendo que todas las operaciones se reducen módulo 12, donde no haya ambigüedad se escribe a = b en lugar de la expresión a ≡ b(mod12). Además, en adelante se tratan indistintamente los elementos de N y los de Nτ , y se escribe: C = Cτ = 0, C♯ = C♯τ = 1, D = Dτ = 2 ... B = Bτ = 11 Con esta notación, la operación de sumar −20 semitonos (restar 20 semito- nos) a la clase La sostenido, se expresa como A♯− 20 = 10− 20 = 2 = D. La definición de acorde que se dio al inicio de esta sección es muy amplia, no se especifica un número máximo de clases de notas ni relación alguna entre ellas. Si bien no es frecuente que un acorde tenga más de 6 clases de notas, se han compuesto obras con acordes que incluyen las 12 clases. Esto hace que un estudio exhaustivo de la armońıa, además de requerir matemáticas más avanzadas, sea demasiado extenso para este trabajo. Solo se tratarán los acordes más elementales: las tŕıadas mayores y las tŕıadas menores. Una 30 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES Tŕıada Mayor es un acorde XM = {x, x + 4, x + 7}, y una Tŕıada menor es un acorde Xm = {x, x + 3, x + 7}, donde X es cualquiera de las doce clases de notas, y x ∈ ρ es el residuo que la representa. En una tŕıada mayor, las clases x + 4 y x + 7 reciben los nombres de Tercera y quinta, respectivamente. Los mismos nombres se aplican, también respectivamente, a las clases x+3 y x+7 en una tŕıada menor. El acorde Fa sostenido mayor, F♯M = {F♯,A♯, C♯}, del que se habló al inicio de esta sección, es la tŕıada F♯M = {6, 6 + 4, 6 + 7} = {6, 10, 1}, donde la tercera es A♯ = 10 y la quinta es C♯ = 1. El acorde Fa sostenido menor es la tŕıada: F♯m = {6, 6 + 3, 6 + 7} = {6, 9, 1} = {F♯,A,C♯} con tercera A = 9 y quinta C♯ = 1. Cada X ∈ N es la fundamental de una tŕıada mayor y también de una tŕıada menor. El conjunto de estas 24 tŕıadas se denota por µ, y tŕıadas arbitrarias pertenecientes a µ se denotan como Xµ, Yµ. Como se dijo antes, una transformación es una función definida entre conjuntos de acordes. En este caso se definen transformaciones sobre el con- junto µ. La primera transformación se denomina Transposición o Traslación y consiste en sumar un número dado de semitonos a cada tŕıada de µ, esto es, para cada tŕıada Xµ = {x, y, z} y cada n ∈ Z, se define Tn(Xµ) = Xµ + n = {x+ n, y + n, z + n} (2.19) Es claro que, aunque en principio hay infinitas traslaciones, una por cada n ∈ Z, al hacer la reducción módulo 12 queda solo un conjunto de doce 2.2. TRANSFORMACIONES DE ACORDES 31 traslaciones distintas: T = {T0, T1, · · · , T11}. En efecto, si j ∈ ρ y n ≡ jmod(12), entonces n = 12m+ j, para algún m ∈ Z, de donde: Tn(Xµ) = Xµ + n = Xµ + (12m+ j) = (Xµ + 12m) + j = Xµ + j = Tj(Xµ) (2.20) Al aplicar, por ejemplo, la traslación T−15 al acorde B♭M = {10, 2, 5}, se obtiene: T−15(B♭M) = {10− 15, 2− 15, 5− 15} = {7, 11, 2} = T9(B♭M) lo cual es de esperarse puesto que −15 ≡ 9(mod12). Es sencillo ver que toda transposición es una permutación del conjunto µ, es decir, una función biyectiva de µ en µ. Además, si XM = {x, x+4, x+7}, entonces Tn(XM) = {x + n, (x + n) + 4, (x + n) + 7}, que es también una tŕıada mayor, y algo análogo ocurre para tŕıadas menores. Es decir que las transposiciones conservan la especie de las tŕıadas. Una misma tŕıada tiene imágenes distintas bajo distintas traslaciones, entonces al aplicar las doce traslaciones a una misma tŕıada mayor se obtienen las doce tŕıadas mayores, y lo propio para las tŕıadas menores. Es claro también que la traslación T0 es la función identidad sobre el conjunto µ. 32 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES La traslación es una transformación muy común en la práctica musical. Ocurre cada vez que se interpreta una obra en un instrumento de tesitura diferente a la de aquel para el cual fue compuesta originalmente. Lo usual es que una obra tenga acordes de otras especies además de los de µ, luego, para transponer toda una obra se requiere ampliar el dominio de las traslaciones. Si la tesitura del instrumento original es n semitonos más alta que la del otro, se aplica la transposición T−n a todos los acordes de la obra; si es n semitonos más baja se aplica Tn. Vale recordar que el propósito de estudiar las transformaciones es cons- truir secuencias de acordes para obras musicales. Es deseable contar con un conjunto de transformaciones que pueda producir cualquier secuencia de tŕıadas. Las transposiciones por śı solas son insuficientes para formar secuen- cias armónicas “interesantes”, ya que solo producen secuencias de tŕıadas de una misma especie. Por esta razón se definen unas transformaciones que cambian la especie, llamadas Inversiones. Se define la función i : µ → µ, que a cada tŕıada Xµ = {x, y, z} la env́ıa en i(Xµ) = −Xµ = {−x,−y,−z} = {12− x, 12− y, 12− z} (2.21) Esta función cambia la especie de las tŕıadas, de mayor a menor y vice- versa. En efecto, para una tŕıada mayor XM = {x, x+ 4, x+ 7}: i(XM) = {−x,−(x+ 4),−(x+ 7)} = {12− x, 12− (x+ 4), 12− (x+ 7)} = {12− x, 8− x, 5− x} (2.22) 2.2. TRANSFORMACIONES DE ACORDES 33 donde 8− x = (5− x) + 3, y 12− x = (5− x) + 7, que corresponde a la tŕıada menor cuya ráız es 5− x, siendo su tercera 8− x y su quinta 12− x. Para una tŕıada menor Xm = {x, x+ 3, x+ 7}: i(Xm) = {−x,−(x+ 3),−(x+ 7)} = {12− x, 12− (x+ 3), 12− (x+ 7)} = {12− x, 9− x, 5− x} (2.23) donde 9− x = (5− x) + 4, y 12− x = (5− x) + 7, correspondiendo a la tŕıada mayor de ráız 5− x, tercera 9− x y quinta 12− x. El conjunto T ∪ {i} tampoco basta para producir cualquier secuencia de tŕıadas. Por ejemplo, no hay ningún elemento de T ∪ {i} que permita pasar directamente del acorde Do mayor, CM = {0, 4, 7}, al acorde Re menor, Dm = {2, 5, 9}. Pero con ayuda de la función i se definen las inversiones transpuestas, que serán llamadas simplemente Inversiones, y que unidas a las transposiciones completan un conjunto capaz de producir cualquier secuencia de elementos de µ. Para cada n ∈ Z se define la inversión In : µ → µ como In = Tn ◦ i. Aśı que para cada Xµ = {x, y, z} se tiene que In(Xµ) = −Xµ + n = {−x+ n,−y + n,−z + n}. El mismo argumento que se usó para las traslaciones muestra que también el conjunto de las inversiones tiene solo doce elementos distintos: I = {I0, I1, · · · , I11}. Además es inmediato que I0 = i. Como i cambia la especie de cada tŕıada, y las traslaciones la preservan, entonces cada inversión cambia la especie de las tŕıadas. Una misma tŕıada tiene imágenes distintas bajo distintas inversiones, entonces al aplicar las doce 34 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES inversiones a una misma tŕıada mayor se obtienen las doce tŕıadas menores y viceversa. En la inversión de acordes está una de las diferencias más notorias entre el lenguaje usual de la música y lo expuesto en esta sección. Con un ejemplo se explica esta diferencia. Considérese el acorde Re menor, Dm = {2, 5, 9} = {D,F,A}. Si se toma el representante {62, 65, 69, 77} = {D5, F5, A5, F6}, se dice que el acorde está en estado fundamental, porque la nota más baja del representante pertenece a la fundamental. Pero al tomar el representante {65, 69, 74} = {F5, A5, D6}, en el lenguaje común de la música se dice que el acorde está en primera inversión, porque la nota más baja pertenece a la tercera. El representante {69, 74, 77, 86} = {A5, D6, F6, D7} tiene su nota más baja en la quinta, y se dice que el acorde está en segunda inversión. Adicionalmente, se usan los términos posición y disposición del acorde para indicar cuál es la nota más alta y cómo están ordenadas las restantes notas en el representante. Como se ve, este uso de la palabra inversión, junto con la posición y la disposición, hace referencia al orden de altura de las notas en distintos repre- sentantes de un mismo acorde. La inversión, como se define en esta sección, claramente cambia cada acorde por uno diferente y, además, de diferente es- pecie. El estudio matemático de los representantes de acordes y su relación con las ĺıneas melódicas, es un tema que no se aborda en este trabajo. Igual que las traslaciones, las inversiones por śı solas tampoco generan todas las posibles secuencias de tŕıadas de µ, porque usando solo inversiones no pueden obtenerse tŕıadas consecutivas de la misma especie. Pero el con- junto TI = T ∪ I es suficiente para generar cualquier secuencia deseada de 2.2. TRANSFORMACIONES DE ACORDES 35 elementos de µ. Si a partir de una tŕıada mayor, XM = {x, x + 4, x + 7}, se desea obtener una menor, Ym = {y, y + 3, y + 7}, basta aplicar la inversión In, con n = y + x− 5. Igualmente para pasar de menor a mayor. Para ir de mayor a mayor o de menor a menor, se aplica la traslación apropiada. Además cada elemento de TI es necesario. Si falta la inversión In entonces no es posible obtener directamente la tŕıada mayor {5−x+n, 9−x+ n, 12−x+n} a partir de la tŕıada menor {x, x+3, x+7}. Algo similar ocurre si falta alguna de las traslaciones. Es interesante que el conjunto TI tiene estructura de grupo bajo composición. Existen cuatro maneras de componer traslaciones e inversiones: Tn ◦ Tm(Xµ) = Tn(Xµ +m) = (Xµ +m) + n = Xµ + (m+ n) = Tm+n(Xµ) (2.24) Tn ◦ Im(Xµ) = Tn(−Xµ +m) = (−Xµ +m) + n = −Xµ + (m+ n) = Im+n(Xµ) (2.25) In ◦ Tm(Xµ) = In(Xµ +m) = (−Xµ −m) + n = −Xµ + (n−m) = In−m(Xµ) (2.26) 36 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES In ◦ Im(Xµ) = In(−Xµ +m) = (Xµ −m) + n = Xµ + (n−m) = Tn−m(Xµ) (2.27) Esto muestra que el conjunto TI es cerrado bajo composición. Además, para todo n,m, p ∈ ρ se cumple lo siguiente: T0 ◦ Tn = Tn ◦ T0 = Tn+0 = Tn (2.28) T0 ◦ In = In+0 = In (2.29) In ◦ T0 = In−0 = In (2.30) Aśı que T0 es el elemento neutro. Por otra parte: Tn ◦ T12−n = T12−n ◦ Tn = T12−n+n = T12 = T0 (2.31) In ◦ In = Tn−n = T0 (2.32) 2.3. OTRAS TRANSFORMACIONES IMPORTANTES 37 Entonces todo elemento tiene un inverso. Hay ocho maneras de asociar tres elementos de TI, sin embargo no es necesario probar cada una porque la composición de funciones es asociativa en general. Solo para ilustrar se muestra uno de los ocho casos: In ◦ (Tm ◦ Tp) = In ◦ Tm+p = In−(m+p) = I(n−m)−p = In−m ◦ Tp = (In ◦ Tm) ◦ Tp Para m,n ∈ ρ, si Tm ◦ In = In ◦Tm entonces In+m = In−m, lo cual implica que (n+m) ≡ (n−m)(mod12), y esto ocurre solo sim = 0 om = 6. Por tanto el grupo TI no es conmutativo. El centro de este grupo es Z(TI) = {T0, T6}. 2.3. Otras Transformaciones Importantes Dos tŕıadas de µ se llaman Paralelas si tienen la misma fundamental, pero una es mayor y la otra es menor. E♭M y E♭m son dos tŕıadas paralelas. Es claro que hay en total 12 pares de tŕıadas paralelas. La transformación Paralela es la función P : µ → µ que a cada tŕıada la env́ıa a su paralela, es decir, si X ∈ N entonces P (XM) = Xm y P (Xm) = XM . Dos tŕıadas, una mayor y una menor, se llaman Mutuamente Relativas, o simplemente Relativas, si la ráız de la mayor se obtiene sumando 3 a la ráız de la menor. G♭M = {6, 10, 1} y E♭m = {3, 6, 10} son relativas, ya que la ráız 38 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES de E♭m es E♭ = 3 y la de G♭M es G♭ = 6 = 3 + 3. Si Xm = {x, x+ 3, x+ 7} y YM = {y, y + 4, y + 7} son tŕıadas relativas, entonces y = x + 3, y + 4 = (x+3)+4 = x+7 y y+7 = (x+3)+7 = x+10, luego, dos tŕıadas relativas siempre comparten dos clases, la tercera de la menor es la fundamental de la mayor, y la quinta de la menor es la tercera de la mayor. Las clases comunes a G♭M y E♭m son G♭ = 6 y B♭ = 10. La transformación Relativa es la función R : µ → µ definida como sigue: R(Xm) = R({x, x+ 3, x+ 7}) = {x+ 3, x+ 7, x+ 10} = {x+ 3, x+ 7, x− 2} (2.33) R(YM) = R({y, y + 4, y + 7}) = {y + 9, y, y + 4} = {y − 3, y, y + 4} (2.34) Por último, si a la quinta de una tŕıada menor se le suma un semitono, se obtiene la ráız de una tŕıada mayor. En efecto, la tŕıada {x, x+3, (x+7)+1} = {x, x+3, x+8} es mayor y su ráız es x+8, ya que (x+8)+4 = x+12 = x, y (x+ 8)+ 7 = x+ 15 = x+ 3. Equivalentemente se obtiene la tŕıada menor restando un semitono a la ráız de la mayor, a lo cual se le llama Intercambio de Séptima. Con base en esto se define la transformación L : µ → µ: L(Xm) = L({x, x+ 3, x+ 7}) = {x+ 8, x, x+ 3} = {x− 4, x, x+ 3} (2.35) 2.3. OTRAS TRANSFORMACIONES IMPORTANTES 39 L(YM) = L({y, y + 4, y + 7}) = {y + 4, y + 7, y + 11} = {y + 4, y + 7, y − 1} (2.36) Aplicando directamente las definiciones de las transformaciones P , L y R, puede probarse que para toda tŕıada de µ se cumple: P ◦ P (Xµ) = L ◦ L(Xµ) = R ◦R(Xµ) = Xµ (2.37) Se muestra únicamente el caso de la transformación intercambio de séptima aplicada a una tŕıada menor: L ◦ L({x, x+ 3, x+ 7}) = L({x− 4, x, x+ 3}) = {(x− 4) + 4, (x− 4) + 7, (x− 4)− 1} = {x, x+ 3, x− 5} = {x, x+ 3, x+ 7} Puede probarse también que el conjunto: PLR = {(L ◦R)n, R ◦ (L ◦R)n : n ∈ ρ} es un grupo bajo composición, y que los grupos TI y PLR son isomorfos. Aunque la transformación P aparece en el nombre del grupo PLR, no aparece expĺıcitamente en la definición del conjunto. Esto se debe a que cada elemento del grupo puede obtenerse a partir de L y R, en particular P = R ◦ (L ◦R)3. Las demostraciones detalladas de todos los resultados sobre transformaciones, incluyendo el isomorfismo entre TI y PLR, se encuentran en [1]. 40 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES Una armońıa basada únicamente en tŕıadas mayores y menores es dema- siado limitada. Se requieren adicionalmente otras especies de acordes para hacer música con una estructura armónica más rica en matices. Uno de los caminos que pueden seguirse para formar otras especies de acordes, consiste en tomar las tŕıadas mayores y menores y adicionarles otras clases de notas. Un conjunto de acordes bastante recurrente en algunos géneros de músi- ca folclórica tradicional, se consigue uniendo µ con el conjunto de los doce acordes de la forma XM7 = {x, x + 4, x + 7, x + 10} = XM ∪ {x + 10}, lla- mados acordes mayores con séptima menor. Un ejemplo de estos acordes es G♭M7 = {6, 6+4, 6+7, 6+10} = {6, 10, 1, 4}. Aún este conjunto de 36 acordes es muy pequeño comparado con el de todos los acordes que pueden formarse. Para ampliar un poco más, se definen los doce acordes menores con séptima menor, que son de la forma Xm7 = {x, x+3, x+7, x+10} = Xm∪{x+10}. Un ejemplo es G♭m7 = {6, 9, 1, 4}. Para finalizar, se presenta un ejemplo de una secuencia corta de tŕıadas obtenida por aplicación de transformaciones de TI. Partiendo de la tŕıada Do mayor, CM = {0, 4, 7}, y aplicando sucesivamente I9, I4, T5, I4, I6 y T5, resulta la secuencia: CM ,Dm,GM , CM , Am,DM ,GM . Esta secuencia coincide parcialmente con la de los primeros siete acordes del primer preludio de la obra titulada El Clave Bien Temperado, de Johann Sebastian Bach: CM , Dm7, GM7, CM , Am, DM7, GM [4]. Los acordes primero, cuarto, quinto y séptimo son iguales en ambas secuencias. El segundo, el tercero y el sexto en la secuencia de Bach son acordes con séptima menor, como se definieron en el párrafo anterior, y guardan la siguiente relación con las respectivas tŕıadas de la primera secuencia:Dm7 = Dm∪{C},GM7 = GM∪{F},DM7 = DM∪{C}. 2.3. OTRAS TRANSFORMACIONES IMPORTANTES 41 Las ideas en torno a las transformaciones de tŕıadas mayores y menores pueden extenderse a conjuntos más amplios de acordes, haciendo las adapta- ciones pertinentes. Un trabajo similar puede realizarse con las ĺıneas melódi- cas. Todo lo expuesto en este trabajo es solo una breve introducción a la teoŕıa matemática de la música. Varios investigadores han llevado esta teoŕıa hasta un alto grado de desarrollo. El matemático y músico suizo Guerino Mazzola, mediante matemáticas sofisticadas como la teoŕıa de topos, trata temas cruciales de la teoŕıa musical, como la relación entre la armońıa y el contrapunto. Este y otros aspectos avanzados de música teórica pueden con- sultarse en [8]. Las investigaciones de Mazzola causan polémica porque, para algunos cŕıticos, es un despropósito usar ese nivel de matemáticas en la músi- ca. Pero más allá de la controversia, los trabajos de Mazzola, aśı como los de otros autores, evidencian que aún hoy, como en la antigüedad, es posible tener una perspectiva matemática del arte musical. 42 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS MUSICALES Caṕıtulo 3 Eṕılogo No existen reglas fijas para la composición musical. Como arte, la música abarca cualquier combinación de sonidos y silencios que esté dotada de alguna intención expresiva. Gracias a la comprensión de la acústica, al desarrollo de teoŕıas como el análisis armónico y a la utilización de medios electrónicos y digitales, es posible, en teoŕıa, hacer música con todas las audiofrecuencias, en cualquier intervalo de tiempo y con todos los niveles de intensidad. Esta música general contiene como casos particulares a todos los sistemas musicales imaginables. Entre estos sistemas se cuentan las escalas no tem- peradas, que surgieron desde la antigüedad en diversas culturas. En estas escalas se presentan problemas técnicos, como la dificultad para la modula- ción, que desde la perspectiva art́ıstica no necesariamente son defectos, pero en la práctica son indeseables. En las temperadas estos problemas son in- existentes o quedan atenuados significativamente. La escala temperada que predomina en la música occidental es la dodecafónica, pero todo lo que se ha dicho para este sistema puede ser extrapolado a cualquier otra escala tem- 43 44 CAPÍTULO 3. EPÍLOGO perada en la que el intervalo constante entre sonidos consecutivos sea de la forma r = 2 1 k , con k ∈ Z+, efectuando las operaciones en el respectivo grupo Zk. Cada escala, temperada o no, cada aspecto técnico de la composición, la armońıa, la melod́ıa, el ritmo, incluso la dimensión art́ıstica de la música, la gestualidad de un director de orquesta o de un instrumentista mientras ejecuta una obra, la cadena de comunicación entre compositor, intérprete y oyente, todo en la música puede ser expresado en lenguaje matemático. Bibliograf́ıa [1] Agust́ın-Aquino Octavio A., Du Plessis Janine, Lluis-Puebla Emilio, Montiel Mariana: Una Introducción a la Teoŕıa de Grupos con Aplica- ciones en la Teoŕıa Matemática de la Música. Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana. Serie: Textos. vol. 10 (2009). Libro Di- gital. URL: https://www.pesmm.org.mx/Serie Textos archivos/T10.pdf [2] Aristóxeno: Harmónica. Madrid. Editorial Gredos 2009. [3] Assayag, G; Feichtinger, H.G; Rodrigues, J.F. (Eds): Mathematics and Music. A Diderot Mathematical Forum. Berlin-Heildelberg. Springer Verlag. 2002. [4] Bach, Johan Sebastian: Neue Ausgabe Samtlicher Werke. Basel-London- New York. Barenreiter Kassel. 1989. [5] Calvo-Manzano R. Antonio: Acústica F́ısico-Musical. Madrid. Editorial Real Musical. 1991. [6] Dummit David S., Foote Richard M: Abstract Algebra. New Jersey. Prentice-Hall. 1991. 45 46 BIBLIOGRAFÍA [7] Gibson, Sophie: Aristoxenus of Tarentum and The Birth of Musicology. New York. Routledge. 2005. [8] Mazzola, Guerino: The Topos of Music I: Theory. New York. Springer. 2017. [9] Ptolomeo Claudio: Harmónica. Madrid. Editorial Gredos 2009. [10] Vélez C. Juan Diego, Zapata Jeferson L: Matemáticas Especia- les. Universidad Nacional de Colombia. 2019. Libro digital. URL: https://sites.google.com/view/juandiegovelez/home