30 O. Salazar-Díaz & G. Vergara-Ríos

la métrica de la palabra, y posteriormente, visto como espacio topológico, estu-
diar propiedades que puedan ser traducidas en propiedades algebraicas del grupo
del que se partió. Por ejemplo, finitud del grupo, finitud de una presentación,
existencia de subgrupos con ciertas características, entre otras. Detalles de estas
relaciones pueden estudiarse en [2] y [3].

Referencias

[1] Bridson M. y Haefliger A., Metric spaces of non-positive curvature, Springer-Verlag, Berlin,
1999.

[2] De la Harpe P., Topics in geometric group theory, Chicago Lectures in Mathematics, Uni-
versity of Chicago Press, Chicago, IL, 2000.

[3] Geoghegan R., Topological methods in group theory, Graduate Texts in Mathematics, 243,
Springer, New York, 2008.

[4] Hatcher A., Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

[5] Johnson D.L., Presentations of groups, London Mathematical Society Student Texts, 15,
Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

[6] Lima E.L., Espaços métricos, Projecto Euclides, CNPq, Rio de Janeiro, 2003.

[Revista Integración

∮
Revista Integración

Escuela de Matemáticas

Universidad Industrial de Santander

Vol. 29, No. 1, 2011, pág. 31–54

Inmersiones isométricas en variedades

riemannianas

Carlos Alberto Marín Arango ∗

Universidad de Antioquia, Instituto de Matemáticas, Medellín–Colombia.

Resumen. Este trabajo recapitula la teoría básica de conexiones en fibrados
principales y fibrados vectoriales con el fin de aplicar tales teorías al estudio
de inmersiones isométricas en variedades riemannianas; por medio de una
versión apropiada del teorema de Frobenius mostramos un resultado que
generaliza el teorema fundamental de las inmersiones isométricas.

Palabras claves: fibrados vectoriales, fibrados de referenciales y conexiones,
inmersiones isométricas.
MSC2000: 53B20, 53C05, 53C42

Isometric immersions into Riemannian Manifolds

Abstract. This paper summarizes the basic theory of connections in principal
bundles and vector bundles in order to apply these theories to the study of
isometric immersions in Riemannian manifolds; by an appropriate version of
the Frobenius theorem we show a result that generalizes the Fundamental
Theorem of isometric immersions.
Keywords: vector bundles, frame bundles and connections, isometric im-
mersions.

1. Introducción

Tanto en la literatura clásica como en la literatura moderna, aparecen diver-
sos teoremas referentes a la existencia de inmersiones isométricas en variedades
riemannianas. Tal es el caso de inmersiones en espacios de curvatura seccional
constante [1], inmersiones en variedades de Kähler con curvatura holomorfa

0∗Autor para correspondencia: E-mail : camara@matematicas.udea.edu.co

Recibido: 18 de Febrero de 2011, Aceptado: 27 de Mayo de 2011.

31



32 C.A. Marín Arango

constante y más recientemente algunos resultados sobre la existencia de inmer-
siones en variedades riemannianas más generales [2]. En el contexto de estos ejem-
plos, las ecuaciones de Gauss, Codazzi y Ricci resultan ser condiciones necesarias
para la existencia de inmersiones isométricas; el teorema fundamental de las in-
mersiones isométricas [1] muestra que ellas son también condiciones localmente
suficientes; además, en algunas situaciones geométricas específicas se necesitan
suposiciones adicionales para tal fin [3].

El objetivo de este trabajo es recapitular la teoría básica de conexiones en fibra-
dos principales y fibrados vectoriales, con el fin de aplicar tales teorías al estu-
dio de inmersiones isométricas en variedades riemannianas; la idea es mostrar,
por medio de una versión apropiada del teorema de Frobenius, un resultado
que generaliza el teorema fundamental de las inmersiones isométricas; más es-
pecíficamente, pretendemos responder a la siguiente pregunta: Dadas variedades
riemannianas (Mn, g) y (M

n̄
, ḡ), ¿cuándo es posible encontrar una inmersión

isométrica f : M → M con segunda forma fundamental y conexión normal
preestablecidas? O sea, dados un fibrado vectorial riemanniano π : (E, gE) → M

con fibra típica Rk (k + n = n̄) y dotado de una conexión lineal compatible ∇E,
y una sección simétrica α0 del fibrado Lin2(TM ;E), ¿cuándo es posible encon-
trar un par (f, L) en que f : U ⊂ M → M sea una inmersión isométrica y
L : E |U→ f⊥ sea una isometría de fibrados que preserve conexión y relacione α0

con la segunda forma fundamental de la inmersión f?

2. Conexiones en fibrados

A lo largo de esta sección, para efectos de notación y terminología empleamos [3].

2.1. Conexiones en fibrados principales

Sea dado un fibrado principal Π : P → M con grupo estructural G. Para cada
x ∈ M denotamos por Px la fibra de P sobre x. Para cada x ∈ M el conjunto Px

es una subvariedad suave de P y, dado p ∈ Px, el espacio tangente Tp(Px) es un
subespacio del espacio TpP , el cual es llamado el espacio vertical de P en el punto
p y es denotado por Verp(P ). Claramente Verp(P ) = Ker(dΠp); de este modo,
para cada x ∈ M y cada p ∈ Px, la aplicación dada por la acción del grupo G en
el punto p, la cual es denotada por βp : G → Px, induce un isomorfismo entre el
álgebra de Lie g del grupo estructural G y el espacio vertical Verp(P ). A saber,

dβp(1) : g −→ Verp(P ) (1)

define un isomorfismo de espacios vectoriales llamado el isomorfismo canónico.

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 33

Una conexión principal, o simplemente una conexión en un fibrado principal P , es
una distribución suave Hor(P ) en P que es horizontal e invariante por la acción
de G; más específicamente, para cada p ∈ P se tiene TpP = Horp(P )⊕ Verp(P );
además,

dγg
(
Horp(P )

)
= Horp·g(P )

para cada p ∈ P , cada g ∈ G, donde γg : P → P denota el difeomorfismo dado
por la acción de g en P . Dada una conexión principal Hor(P ) en P , la diferencial
dΠp induce un isomorfismo entre los espacios vectoriales Horp(P ) y TΠ(p)M para
cada p ∈ P .

Asociada con toda conexión principal Hor(P ) en P hay una 1-forma suave ω en
P a valores en g tal que Ker(ωp) = Horp(P ), para cada p ∈ P . A saber:

ωp(ζ) =

{(
dβp(1)

)−1
(ζ) ∈ g, si ζ ∈ Verp(P ),

0 ∈ g, si ζ ∈ Horp(P ),
(2)

para cada p ∈ P . La condición correspondiente a la G-invarianza de la distribución
se puede expresar por medio de la identidad

γ∗g ω = Adg−1 ◦ ω, g ∈ G. (3)

Una 1-forma suave en P a valores en g la cual satisface las condiciones dadas por
(2) y (3) se denomina una forma conexión en P .

Recíprocamente, si ω es una forma de conexión en P , entonces la distribución
Hor(P ), definida por

Horp(P ) = Ker(ωp), p ∈ P, (4)

define una conexión principal en P .

La igualdad (4) define una correspondencia uno-a-uno entre la conexiones en P y
las formas de conexión en P .

La forma de curvatura de una conexión Hor(P ) en un fibrado G-principal P es la
2-forma suave en P definida por

Ω = dω +
1

2
ω ∧ ω, (5)

en que ω denota la forma de conexión en P asociada con la conexión principal
Hor(P ) y el producto ∧ es considerado respecto al conmutador del álgebra de Lie
del grupo estructural G.

Si M es una variedad suave de dimensión n, denotaremos por FR(TM) el fibrado
GL(Rn)-principal de los referenciales en TM ; la forma canónica de FR(TM) es
la 1-forma suave en FR(TM) a valores en Rn definida por

θp(v) = p−1 (dΠp(v)) , (6)

Vol. 29, No. 1, 2011]



32 C.A. Marín Arango

constante y más recientemente algunos resultados sobre la existencia de inmer-
siones en variedades riemannianas más generales [2]. En el contexto de estos ejem-
plos, las ecuaciones de Gauss, Codazzi y Ricci resultan ser condiciones necesarias
para la existencia de inmersiones isométricas; el teorema fundamental de las in-
mersiones isométricas [1] muestra que ellas son también condiciones localmente
suficientes; además, en algunas situaciones geométricas específicas se necesitan
suposiciones adicionales para tal fin [3].

El objetivo de este trabajo es recapitular la teoría básica de conexiones en fibra-
dos principales y fibrados vectoriales, con el fin de aplicar tales teorías al estu-
dio de inmersiones isométricas en variedades riemannianas; la idea es mostrar,
por medio de una versión apropiada del teorema de Frobenius, un resultado
que generaliza el teorema fundamental de las inmersiones isométricas; más es-
pecíficamente, pretendemos responder a la siguiente pregunta: Dadas variedades
riemannianas (Mn, g) y (M

n̄
, ḡ), ¿cuándo es posible encontrar una inmersión

isométrica f : M → M con segunda forma fundamental y conexión normal
preestablecidas? O sea, dados un fibrado vectorial riemanniano π : (E, gE) → M

con fibra típica Rk (k + n = n̄) y dotado de una conexión lineal compatible ∇E,
y una sección simétrica α0 del fibrado Lin2(TM ;E), ¿cuándo es posible encon-
trar un par (f, L) en que f : U ⊂ M → M sea una inmersión isométrica y
L : E |U→ f⊥ sea una isometría de fibrados que preserve conexión y relacione α0

con la segunda forma fundamental de la inmersión f?

2. Conexiones en fibrados

A lo largo de esta sección, para efectos de notación y terminología empleamos [3].

2.1. Conexiones en fibrados principales

Sea dado un fibrado principal Π : P → M con grupo estructural G. Para cada
x ∈ M denotamos por Px la fibra de P sobre x. Para cada x ∈ M el conjunto Px

es una subvariedad suave de P y, dado p ∈ Px, el espacio tangente Tp(Px) es un
subespacio del espacio TpP , el cual es llamado el espacio vertical de P en el punto
p y es denotado por Verp(P ). Claramente Verp(P ) = Ker(dΠp); de este modo,
para cada x ∈ M y cada p ∈ Px, la aplicación dada por la acción del grupo G en
el punto p, la cual es denotada por βp : G → Px, induce un isomorfismo entre el
álgebra de Lie g del grupo estructural G y el espacio vertical Verp(P ). A saber,

dβp(1) : g −→ Verp(P ) (1)

define un isomorfismo de espacios vectoriales llamado el isomorfismo canónico.

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 33

Una conexión principal, o simplemente una conexión en un fibrado principal P , es
una distribución suave Hor(P ) en P que es horizontal e invariante por la acción
de G; más específicamente, para cada p ∈ P se tiene TpP = Horp(P )⊕ Verp(P );
además,

dγg
(
Horp(P )

)
= Horp·g(P )

para cada p ∈ P , cada g ∈ G, donde γg : P → P denota el difeomorfismo dado
por la acción de g en P . Dada una conexión principal Hor(P ) en P , la diferencial
dΠp induce un isomorfismo entre los espacios vectoriales Horp(P ) y TΠ(p)M para
cada p ∈ P .

Asociada con toda conexión principal Hor(P ) en P hay una 1-forma suave ω en
P a valores en g tal que Ker(ωp) = Horp(P ), para cada p ∈ P . A saber:

ωp(ζ) =

{(
dβp(1)

)−1
(ζ) ∈ g, si ζ ∈ Verp(P ),

0 ∈ g, si ζ ∈ Horp(P ),
(2)

para cada p ∈ P . La condición correspondiente a la G-invarianza de la distribución
se puede expresar por medio de la identidad

γ∗g ω = Adg−1 ◦ ω, g ∈ G. (3)

Una 1-forma suave en P a valores en g la cual satisface las condiciones dadas por
(2) y (3) se denomina una forma conexión en P .

Recíprocamente, si ω es una forma de conexión en P , entonces la distribución
Hor(P ), definida por

Horp(P ) = Ker(ωp), p ∈ P, (4)

define una conexión principal en P .

La igualdad (4) define una correspondencia uno-a-uno entre la conexiones en P y
las formas de conexión en P .

La forma de curvatura de una conexión Hor(P ) en un fibrado G-principal P es la
2-forma suave en P definida por

Ω = dω +
1

2
ω ∧ ω, (5)

en que ω denota la forma de conexión en P asociada con la conexión principal
Hor(P ) y el producto ∧ es considerado respecto al conmutador del álgebra de Lie
del grupo estructural G.

Si M es una variedad suave de dimensión n, denotaremos por FR(TM) el fibrado
GL(Rn)-principal de los referenciales en TM ; la forma canónica de FR(TM) es
la 1-forma suave en FR(TM) a valores en Rn definida por

θp(v) = p−1 (dΠp(v)) , (6)

Vol. 29, No. 1, 2011]



34 C.A. Marín Arango

para cada p ∈ FR(TM), cada v ∈ Tp (FR(TM)) . Si Hor es una conexión principal
en FR(TM) con forma de conexión ω, la forma de torsión de FR(TM) es la 2-
forma suave en FR(TM) definida por

Θ = dθ + ω ∧ θ, (7)

en que el producto ∧ es considerado respecto al pareamiento natural entre gl(Rn)

y Rn. Con mayor generalidad, si E es un fibrado vectorial con fibra típica E0

definido sobre una variedad suave M , denotamos por FRE0
(E) el fibrado GL(E0)-

principal consistente de todos los E0-referenciales en E; dado un morfismo de
fibrados vectoriales ι : TM → E, la forma ι-canónica de FRE0

(E) es la 1-forma
suave en FRE0

(E) a valores en E0 definida por

θιp(v) = p−1 (ιx · dΠp(v)) , (8)

para cada x ∈ M , cada p ∈ FRE0
(Ex), cada v ∈ Tp (FRE0

(E)) ; en este caso la
forma de ι-torsión en FRE0

(E) es la 2-forma en FRE0
(E) definida por

Θι = dθι + ω ∧ θι,

en que ∧ es considerado respecto al pareamiento natural entre gl(E0) y E0.

2.2. Conexiones en fibrados asociados

Una conexión en un fibrado G-principal P sobre una variedad suave M induce de
forma natural una conexión en cada fibrado asociado de P . Más precisamente, si N
es una variedad suave dotada de una acción por difeomorfismos de G, denotamos
por P ×G N el fibrado asociado de P , i.e.,

P ×G N =
⋃

x∈M

Px ×G N,

en que para cada x ∈ M la fibra Px ×G N denota el espacio de la órbitas en
Px ×N dado por la acción: g · (p, n) = (p · g−1, g · n). Dada una conexión Hor(P )

en P , denotamos por q : P × N → P ×G N la proyección canónica relativa a la
acción anterior; de este modo, haciendo

Hor[p,n](P ×G N) = dq(p,n)
(
Horp(P )⊕ {0}

)
(9)

para cada p ∈ P , n ∈ N , se define una única distribución horizontal suave en el
fibrado asociado P ×G N . Esta distribución es llamada conexión generalizada en
el fibrado asociado P ×G N asociada a la conexión principal Hor(P ).

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 35

2.3. Conexiones en fibrados vectoriales

Sea π : E → M un fibrado vectorial con fibra típica E0. Denotamos por Γ(E) el
conjunto de todas la secciones suaves de E y por C∞(M) el conjunto de todas las
funciones suaves real valuadas en M .

Dados un campo vectorial X ∈ Γ(TM) y una función f ∈ C∞(M) (o, más
generalmente, f puede ser una función suave en M a valores en un espacio vectorial
real finito dimensional). X(f) denota la función definida por X(f)(x) = dfx·X(x),
para cada x ∈ M . Una conexión en el fibrado vectorial E es una aplicación R-
bilineal

∇ : Γ(TM)× Γ(E) ∋ (X, ǫ) �−→ ∇Xǫ ∈ Γ(E),

la cual es C∞(M)-lineal en X y satisface la regla de Leibnitz:

∇X(fǫ) = X(f)ǫ+ f∇Xǫ, (10)

para cada X ∈ Γ(TM), ǫ ∈ Γ(E) y cada f ∈ C∞(M).

El tensor de curvatura de la conexión ∇ se define como la aplicación

R : Γ(TM)× Γ(TM)× Γ(E) −→ Γ(E)

dada por
R(X,Y )ǫ = ∇X∇Y ǫ−∇Y∇Xǫ−∇[X,Y ]ǫ,

para cada X,Y ∈ Γ(TM), ǫ ∈ Γ(E), en que [X,Y ] ∈ Γ(TM) denota el corchete
de Lie de los campos X y Y .

Dada una conexión ∇ en el fibrado tangente a una variedad suave M , TM , el
tensor de torsión de ∇ es la aplicación T : Γ(TM)× Γ(TM) → Γ(TM) definida
por

T (X,Y ) = ∇XY −∇Y X − [X,Y ],

para cada X,Y ∈ Γ(TM). Más generalmente, si ∇ es una conexión en un fibrado
vectorial arbitrario π : E → M , y si ι : TM → E es un morfismo de fibrados
vectoriales, entonces la ι-torsión de ∇ es la aplicación T ι : Γ(TM) × Γ(TM) →
Γ(E) definida por

T ι(X,Y ) = ∇X

(
ι(Y )

)
−∇Y

(
ι(X)

)
− ι

(
[X,Y ]

)
,

para cada X,Y ∈ Γ(TM). Una conexión en TM cuyo tensor de torsión T es
idénticamente cero es llamada simétrica.

Sean dados fibrados vectoriales E, E′ sobre una variedad suave M , dotados de
conexiones lineales ∇ y ∇′, respectivamente. Decimos que un morfismo de fibrados
vectoriales L : E → E′ preserva conexión si ∇′

v(L ◦ ǫ) = L(∇vǫ), para cada
v ∈ TM y cada ǫ ∈ Γ(E).

Vol. 29, No. 1, 2011]



34 C.A. Marín Arango

para cada p ∈ FR(TM), cada v ∈ Tp (FR(TM)) . Si Hor es una conexión principal
en FR(TM) con forma de conexión ω, la forma de torsión de FR(TM) es la 2-
forma suave en FR(TM) definida por

Θ = dθ + ω ∧ θ, (7)

en que el producto ∧ es considerado respecto al pareamiento natural entre gl(Rn)

y Rn. Con mayor generalidad, si E es un fibrado vectorial con fibra típica E0

definido sobre una variedad suave M , denotamos por FRE0
(E) el fibrado GL(E0)-

principal consistente de todos los E0-referenciales en E; dado un morfismo de
fibrados vectoriales ι : TM → E, la forma ι-canónica de FRE0

(E) es la 1-forma
suave en FRE0

(E) a valores en E0 definida por

θιp(v) = p−1 (ιx · dΠp(v)) , (8)

para cada x ∈ M , cada p ∈ FRE0
(Ex), cada v ∈ Tp (FRE0

(E)) ; en este caso la
forma de ι-torsión en FRE0

(E) es la 2-forma en FRE0
(E) definida por

Θι = dθι + ω ∧ θι,

en que ∧ es considerado respecto al pareamiento natural entre gl(E0) y E0.

2.2. Conexiones en fibrados asociados

Una conexión en un fibrado G-principal P sobre una variedad suave M induce de
forma natural una conexión en cada fibrado asociado de P . Más precisamente, si N
es una variedad suave dotada de una acción por difeomorfismos de G, denotamos
por P ×G N el fibrado asociado de P , i.e.,

P ×G N =
⋃

x∈M

Px ×G N,

en que para cada x ∈ M la fibra Px ×G N denota el espacio de la órbitas en
Px ×N dado por la acción: g · (p, n) = (p · g−1, g · n). Dada una conexión Hor(P )

en P , denotamos por q : P × N → P ×G N la proyección canónica relativa a la
acción anterior; de este modo, haciendo

Hor[p,n](P ×G N) = dq(p,n)
(
Horp(P )⊕ {0}

)
(9)

para cada p ∈ P , n ∈ N , se define una única distribución horizontal suave en el
fibrado asociado P ×G N . Esta distribución es llamada conexión generalizada en
el fibrado asociado P ×G N asociada a la conexión principal Hor(P ).

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 35

2.3. Conexiones en fibrados vectoriales

Sea π : E → M un fibrado vectorial con fibra típica E0. Denotamos por Γ(E) el
conjunto de todas la secciones suaves de E y por C∞(M) el conjunto de todas las
funciones suaves real valuadas en M .

Dados un campo vectorial X ∈ Γ(TM) y una función f ∈ C∞(M) (o, más
generalmente, f puede ser una función suave en M a valores en un espacio vectorial
real finito dimensional). X(f) denota la función definida por X(f)(x) = dfx·X(x),
para cada x ∈ M . Una conexión en el fibrado vectorial E es una aplicación R-
bilineal

∇ : Γ(TM)× Γ(E) ∋ (X, ǫ) �−→ ∇Xǫ ∈ Γ(E),

la cual es C∞(M)-lineal en X y satisface la regla de Leibnitz:

∇X(fǫ) = X(f)ǫ+ f∇Xǫ, (10)

para cada X ∈ Γ(TM), ǫ ∈ Γ(E) y cada f ∈ C∞(M).

El tensor de curvatura de la conexión ∇ se define como la aplicación

R : Γ(TM)× Γ(TM)× Γ(E) −→ Γ(E)

dada por
R(X,Y )ǫ = ∇X∇Y ǫ−∇Y∇Xǫ−∇[X,Y ]ǫ,

para cada X,Y ∈ Γ(TM), ǫ ∈ Γ(E), en que [X,Y ] ∈ Γ(TM) denota el corchete
de Lie de los campos X y Y .

Dada una conexión ∇ en el fibrado tangente a una variedad suave M , TM , el
tensor de torsión de ∇ es la aplicación T : Γ(TM)× Γ(TM) → Γ(TM) definida
por

T (X,Y ) = ∇XY −∇Y X − [X,Y ],

para cada X,Y ∈ Γ(TM). Más generalmente, si ∇ es una conexión en un fibrado
vectorial arbitrario π : E → M , y si ι : TM → E es un morfismo de fibrados
vectoriales, entonces la ι-torsión de ∇ es la aplicación T ι : Γ(TM) × Γ(TM) →
Γ(E) definida por

T ι(X,Y ) = ∇X

(
ι(Y )

)
−∇Y

(
ι(X)

)
− ι

(
[X,Y ]

)
,

para cada X,Y ∈ Γ(TM). Una conexión en TM cuyo tensor de torsión T es
idénticamente cero es llamada simétrica.

Sean dados fibrados vectoriales E, E′ sobre una variedad suave M , dotados de
conexiones lineales ∇ y ∇′, respectivamente. Decimos que un morfismo de fibrados
vectoriales L : E → E′ preserva conexión si ∇′

v(L ◦ ǫ) = L(∇vǫ), para cada
v ∈ TM y cada ǫ ∈ Γ(E).

Vol. 29, No. 1, 2011]



36 C.A. Marín Arango

2.4. Relacionando conexiones principales con conexiones lineales

Sea π : E → M un fibrado vectorial sobre una variedad suave M con fibra típica
E0, y sea Hor

(
FRE0

(E)
)

una conexión principal en el fibrado principal de los
E0-referenciales en E. Tal conexión induce una conexión Hor

(
FRE0

(E) ×G E0

)

en el fibrado asociado FRE0
(E)×G E0 (G = GL(E0)). La aplicación

CE : FRE0
(E)×G E0 ∋ [p, e] �−→ p(e) ∈ E

induce una única distribución horizontal Hor(E) en E definida por

Horp(e)(E) = dCE
[p,e]

[
Hor[p,e]

(
FRE0

(E)×G E0

)]
, (11)

para cada [p, e] ∈ FRE0
(E)×G E0.

La distribución Hor(E) define un operador de derivada covariante para secciones
suaves del fibrado E, a saber: si ǫ : U → E es una sección local suave de π,
entonces, dados x ∈ U y v ∈ TxM , la derivada covariante de ǫ en el punto x en
la dirección de v con respecto a la distribución Hor(E) se denota por ∇vǫ y se
define como

∇vǫ = pver
(
dǫ(x) · v

)
∈ Verǫ(x)(E), (12)

en que pver denota la proyección en la componente vertical. El operador de deriva-
da covariante ∇ correspondiente a la distribución horizontal Hor(E) es una cone-
xión lineal en el fibrado vectorial E, llamada la conexión asociada con la conexión
principal Hor

(
FRE0

(E)
)

en FRE0
(E).

Recíprocamente, si se da una conexión lineal ∇ en el fibrado vectorial E, existe
una única conexión principal Hor

(
FRE0

(E)
)

en FRE0
(E) tal que ∇ es el opera-

dor de derivada covariante de la distribución horizontal Hor(E) en el fibrado E

inducida por Hor
(
FRE0

(E)
)
. De este modo, se establece una correspondencia uno

a uno entre el conjunto de las conexiones principales en FRE0
(E) y el conjunto

de las distribuciones horizontales en E, cuyos operadores de derivada covariante
son conexiones lineales en E; en particular, hay una correspondencia uno-a-uno
entre el conjunto de las conexiones principales en FRE0

(E) y el conjunto de las
conexiones lineales en E.

Con base en la correspondencia anterior es posible establecer una relación entre el
tensor de curvatura (respectivamente, torsión) de una conexión lineal en un fibrado
vectorial y la forma de curvatura (respectivamente, de torsión) de la conexión
principal correspondiente; más específicamente, si ∇ es una conexión lineal en un
fibrado vectorial π : E → M con fibra típica E0 y Ω denota la forma de curvatura
de la conexión principal Hor (FRE0

(E)) en FRE0
(E) asociada con ∇, entonces

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 37

el tensor de curvatura de la conexión ∇ y la forma de curvatura de la conexión
principal correspondiente están relacionados por la identidad

p ◦ Ωp(ζ1, ζ2) ◦ p−1 = Rx

(
dΠp(ζ1),dΠp(ζ2)

)
∈ Lin(Ex), (13)

para cada x ∈ M , p ∈ FRE0
(Ex), ζ1, ζ2 ∈ TpFRE0

(E).

Igualmente, si ι : TM → E es un morfismo de fibrados vectoriales y Θι denota la
forma de ι-torsión en FRE0

(E), el tensor de torsión de ∇ y la forma ι-canónica
de la conexión principal correspondiente están relacionados por la identidad

p
(
Θι

p(ζ1, ζ2)
)
= Tx

(
dΠp(ζ1),dΠp(ζ2)

)
∈ Ex, (14)

para cada x ∈ M , p ∈ FRE0
(Ex), ζ1, ζ2 ∈ TpFRE0

(E).

2.5. Componentes de una conexión lineal

Sean E un fibrado vectorial sobre una variedad suave M , E1, E2 subfibrados de
E tales que E = E1 ⊕ E2; denotamos por pr1 : E → E1, pr2 : E → E2 las
correspondientes proyecciones. Dada una conexión ∇ en E, hacemos:

∇1
Xǫ1 = pr1 ◦ ∇Xǫ1 ∈ Γ(E1),

∇2
Xǫ2 = pr2 ◦ ∇Xǫ2 ∈ Γ(E2),

α1(X, ǫ2) = pr1 ◦ ∇Xǫ2 ∈ Γ(E1),

α2(X, ǫ1) = pr2 ◦ ∇Xǫ1 ∈ Γ(E2),

(15)

para cada X ∈ Γ(TM), cada ǫ1 ∈ Γ(E1), ǫ2 ∈ Γ(E2). Claramente ∇1 y ∇2 definen
conexiones lineales en los fibrados vectoriales E1 y E2, respectivamente. Además,
α1 y α2 son aplicaciones C∞(M)-bilineales, luego pueden ser identificadas con
secciones suaves de los fibrados vectoriales Lin(TM,E2;E1) y Lin(TM,E1;E2),
respectivamente. Las aplicaciones ∇1, ∇2, α1, α2 definidas en (15) son llamadas
colectivamente las componentes de la conexión ∇ relativas a la descomposición
E = E1 ⊕ E2. Recíprocamente, dadas las conexiones ∇1 y ∇2 en los fibrados
E1 y E2, respectivamente, α1 ∈ Γ

(
Lin(TM,E2;E1)

)
, α2 ∈ Γ

(
Lin(TM,E1;E2)

)
,

haciendo

∇Xǫ = ∇1
X(pr1 ◦ ǫ) + α1(X, (pr2 ◦ ǫ)) +∇2

X(pr2 ◦ ǫ) + α2(X, (pr1 ◦ ǫ)),
para cada X ∈ Γ(TM) y cada ǫ ∈ Γ(E), se define una única conexión lineal ∇
en E cuyas componentes son las conexiones ∇1 y ∇2 y las aplicaciones α1 y α2.

Si π : E → M es un fibrado vectorial dotado de una estructura riemanniana
g ∈ Γ

(
Lins2(E,R)

)
, una conexión ∇ en E se denomina compatible con g si ∇g = 0.

Esto es equivalente a la siguiente igualdad:

X
(
g(ǫ1, ǫ2)

)
= g(∇Xǫ1, ǫ2) + g(ǫ1,∇Xǫ2), (16)

Vol. 29, No. 1, 2011]



36 C.A. Marín Arango

2.4. Relacionando conexiones principales con conexiones lineales

Sea π : E → M un fibrado vectorial sobre una variedad suave M con fibra típica
E0, y sea Hor

(
FRE0

(E)
)

una conexión principal en el fibrado principal de los
E0-referenciales en E. Tal conexión induce una conexión Hor

(
FRE0

(E) ×G E0

)

en el fibrado asociado FRE0
(E)×G E0 (G = GL(E0)). La aplicación

CE : FRE0
(E)×G E0 ∋ [p, e] �−→ p(e) ∈ E

induce una única distribución horizontal Hor(E) en E definida por

Horp(e)(E) = dCE
[p,e]

[
Hor[p,e]

(
FRE0

(E)×G E0

)]
, (11)

para cada [p, e] ∈ FRE0
(E)×G E0.

La distribución Hor(E) define un operador de derivada covariante para secciones
suaves del fibrado E, a saber: si ǫ : U → E es una sección local suave de π,
entonces, dados x ∈ U y v ∈ TxM , la derivada covariante de ǫ en el punto x en
la dirección de v con respecto a la distribución Hor(E) se denota por ∇vǫ y se
define como

∇vǫ = pver
(
dǫ(x) · v

)
∈ Verǫ(x)(E), (12)

en que pver denota la proyección en la componente vertical. El operador de deriva-
da covariante ∇ correspondiente a la distribución horizontal Hor(E) es una cone-
xión lineal en el fibrado vectorial E, llamada la conexión asociada con la conexión
principal Hor

(
FRE0

(E)
)

en FRE0
(E).

Recíprocamente, si se da una conexión lineal ∇ en el fibrado vectorial E, existe
una única conexión principal Hor

(
FRE0

(E)
)

en FRE0
(E) tal que ∇ es el opera-

dor de derivada covariante de la distribución horizontal Hor(E) en el fibrado E

inducida por Hor
(
FRE0

(E)
)
. De este modo, se establece una correspondencia uno

a uno entre el conjunto de las conexiones principales en FRE0
(E) y el conjunto

de las distribuciones horizontales en E, cuyos operadores de derivada covariante
son conexiones lineales en E; en particular, hay una correspondencia uno-a-uno
entre el conjunto de las conexiones principales en FRE0

(E) y el conjunto de las
conexiones lineales en E.

Con base en la correspondencia anterior es posible establecer una relación entre el
tensor de curvatura (respectivamente, torsión) de una conexión lineal en un fibrado
vectorial y la forma de curvatura (respectivamente, de torsión) de la conexión
principal correspondiente; más específicamente, si ∇ es una conexión lineal en un
fibrado vectorial π : E → M con fibra típica E0 y Ω denota la forma de curvatura
de la conexión principal Hor (FRE0

(E)) en FRE0
(E) asociada con ∇, entonces

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 37

el tensor de curvatura de la conexión ∇ y la forma de curvatura de la conexión
principal correspondiente están relacionados por la identidad

p ◦ Ωp(ζ1, ζ2) ◦ p−1 = Rx

(
dΠp(ζ1),dΠp(ζ2)

)
∈ Lin(Ex), (13)

para cada x ∈ M , p ∈ FRE0
(Ex), ζ1, ζ2 ∈ TpFRE0

(E).

Igualmente, si ι : TM → E es un morfismo de fibrados vectoriales y Θι denota la
forma de ι-torsión en FRE0

(E), el tensor de torsión de ∇ y la forma ι-canónica
de la conexión principal correspondiente están relacionados por la identidad

p
(
Θι

p(ζ1, ζ2)
)
= Tx

(
dΠp(ζ1),dΠp(ζ2)

)
∈ Ex, (14)

para cada x ∈ M , p ∈ FRE0
(Ex), ζ1, ζ2 ∈ TpFRE0

(E).

2.5. Componentes de una conexión lineal

Sean E un fibrado vectorial sobre una variedad suave M , E1, E2 subfibrados de
E tales que E = E1 ⊕ E2; denotamos por pr1 : E → E1, pr2 : E → E2 las
correspondientes proyecciones. Dada una conexión ∇ en E, hacemos:

∇1
Xǫ1 = pr1 ◦ ∇Xǫ1 ∈ Γ(E1),

∇2
Xǫ2 = pr2 ◦ ∇Xǫ2 ∈ Γ(E2),

α1(X, ǫ2) = pr1 ◦ ∇Xǫ2 ∈ Γ(E1),

α2(X, ǫ1) = pr2 ◦ ∇Xǫ1 ∈ Γ(E2),

(15)

para cada X ∈ Γ(TM), cada ǫ1 ∈ Γ(E1), ǫ2 ∈ Γ(E2). Claramente ∇1 y ∇2 definen
conexiones lineales en los fibrados vectoriales E1 y E2, respectivamente. Además,
α1 y α2 son aplicaciones C∞(M)-bilineales, luego pueden ser identificadas con
secciones suaves de los fibrados vectoriales Lin(TM,E2;E1) y Lin(TM,E1;E2),
respectivamente. Las aplicaciones ∇1, ∇2, α1, α2 definidas en (15) son llamadas
colectivamente las componentes de la conexión ∇ relativas a la descomposición
E = E1 ⊕ E2. Recíprocamente, dadas las conexiones ∇1 y ∇2 en los fibrados
E1 y E2, respectivamente, α1 ∈ Γ

(
Lin(TM,E2;E1)

)
, α2 ∈ Γ

(
Lin(TM,E1;E2)

)
,

haciendo

∇Xǫ = ∇1
X(pr1 ◦ ǫ) + α1(X, (pr2 ◦ ǫ)) +∇2

X(pr2 ◦ ǫ) + α2(X, (pr1 ◦ ǫ)),
para cada X ∈ Γ(TM) y cada ǫ ∈ Γ(E), se define una única conexión lineal ∇
en E cuyas componentes son las conexiones ∇1 y ∇2 y las aplicaciones α1 y α2.

Si π : E → M es un fibrado vectorial dotado de una estructura riemanniana
g ∈ Γ

(
Lins2(E,R)

)
, una conexión ∇ en E se denomina compatible con g si ∇g = 0.

Esto es equivalente a la siguiente igualdad:

X
(
g(ǫ1, ǫ2)

)
= g(∇Xǫ1, ǫ2) + g(ǫ1,∇Xǫ2), (16)

Vol. 29, No. 1, 2011]



38 C.A. Marín Arango

para cada X ∈ Γ(TM) y cada ǫ1, ǫ2 ∈ Γ(E).

Luego si g es una estructura riemanniana en E y se tiene una descomposición en
suma directa g-ortogonal E = E1⊕E2, para i = 1, 2, la restricción de g al fibrado
vectorial Ei induce una estructura riemanniana en el fibrado Ei. Además, si ∇ es
una conexión lineal en E y ∇1, ∇2, α1 y α2 denotan sus componentes relativas
a la descomposición g-ortogonal E = E1 ⊕ E2, entonces ∇ es compatible con g

si, y solamente si, la conexión ∇i es compatible con la métrica gi = g |Ei , para
i = 1, 2; además, las aplicaciones α1 y α2 están relacionadas por la identidad

gx
(
α2
x(v, e1), e2

)
+ gx

(
e1, α

1
x(v, e2)

)
= 0, (17)

para cada x ∈ M , v ∈ TxM , e1 ∈ E1
x, e2 ∈ E2

x. La condición (17) permite escribir
la aplicación α1 en términos de la aplicación α2 y del tensor métrico g; luego si
E = E1 ⊕ E2 es una descomposición en suma directa g-ortogonal, para describir
las componentes de una conexión lineal ∇ en E compatible con g solo es necesario
especificar conexiones ∇1 y ∇2 en E1 y E2, respectivamente, compatibles con g1,
g2 y una sección suave α del fibrado vectorial Lin(TM,E1;E2).

3. Teorema de Frobenius

Sean M una variedad suave y D ⊂ TM una distribución suave en M . Por una
subvariedad integral para D entendemos una subvariedad inmersa S ⊂ M para la
cual TxS = Dx, para cada x ∈ S. Decimos que D es integrable si dado x ∈ M ,
existe una subvariedad integral S para D con x ∈ S. La distribución D ⊂ TM es
llamada involutiva si para cada X,Y ∈ Γ(D) se tiene [X,Y ] ∈ Γ(D).

El siguiente resultado se demuestra en [4].

Teorema 3.1 (Frobenius). Sea M una variedad suave. Una distribución suave
D ⊂ TM en M es involutiva si, y solamente si, es integrable.

El teorema de Frobenius puede interpretarse como un resultado que garantiza la
existencia de soluciones para cierta clase de ecuaciones diferenciales de primer
orden; informalmente hablando, ecuaciones de la forma dfx = F

(
x, f(x)

)
. La

relación entre las soluciones de este tipo de ecuaciones y los elementos que apare-
cen en el enunciado del teorema se establece de la siguiente forma: si f es una
solución para una ecuación del tipo dfx = F

(
x, f(x)

)
, su gráfico es una subvarie-

dad integral de una distribución apropiada. El caso en el cual estamos interesados
se describe enseguida.

Dadas las variedades suaves M y N , supóngase que se tienen 1-formas λM y
λN en M y en N , respectivamente, a valores en un espacio vectorial real finito-
dimensional V ; además, suponga que para cada y ∈ N la aplicación λN

y : TyN →

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 39

V es un isomorfismo. Estamos interesados en encontrar una aplicación suave f :

U → N definida en un conjunto abierto U ⊂ M con

f∗λN = λM |U . (18)

Nótese que (18) es equivalente a la igualdad df(x) = τxf(x), donde, para y ∈ N y
x ∈ M , τxy : TxM → TyN denota la aplicación lineal definida por

τxy = (λN
y )−1 ◦ λM

x . (19)

Considérese la distribución suave D en M ×N definida por

D(x,y) = Gr(τxy) ⊂ TxM ⊕ TyN ∼= T(x,y)(M ×N), (20)

para cada y ∈ N y x ∈ M . Es claro que una función suave f : U → N definida en
un subconjunto abierto U de M satisface (18) si, y solamente si, el gráfico de f es
una subvariedad integral para D. Por lo tanto, la existencia de la aplicación f sa-
tisfaciendo (18) puede ser obtenida como una aplicación del teorema de Frobenius.
Más específicamente, se tiene el siguiente resultado [3]:

Teorema 3.2. Sean M y N variedades suaves. Supóngase que se tienen 1-formas
suaves λM y λN en M y N respectivamente, a valores en un espacio vectorial
real finito-dimensional V , tales que λN

y : TyN → V es un isomorfismo, para cada
y ∈ N . Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) para cada x ∈ M , y ∈ N existe una aplicación suave f : U → N definida
en una vecindad abierta U de x en M con f(x) = y tal que la igualdad (18)
se verifica;

(b) para cada x ∈ M , y ∈ N , τ∗xydλ
N
y = dλM

x , donde τxy : TxM → TyN es la
aplicación lineal definida en (19).

Observación 3.3. Un caso particular interesante del teorema anterior sucede
cuando N es un grupo de Lie y λN denota la forma de Maurer-Cartan para N ,
ya que si λM es una 1-forma suave definida en una variedad suave M a valores en
el álgebra de Lie de N , la condición (b) del enunciado equivale a que λM satisface
la ecuación de Maurer-Cartan, más específicamente, dλM = −1

2λ
M ∧ λM .

4. Inmersiones isométricas

4.1. Notación y preliminares

Sean (M,g) y (M, ḡ) variedades riemannianas. Por una inmersión isométrica de
(M,g) en (M, ḡ) entendemos una aplicación suave f : M → M tal que

ḡf(x)
(
dfx(v),dfx(w)

)
= gx(v,w), (21)

Vol. 29, No. 1, 2011]



38 C.A. Marín Arango

para cada X ∈ Γ(TM) y cada ǫ1, ǫ2 ∈ Γ(E).

Luego si g es una estructura riemanniana en E y se tiene una descomposición en
suma directa g-ortogonal E = E1⊕E2, para i = 1, 2, la restricción de g al fibrado
vectorial Ei induce una estructura riemanniana en el fibrado Ei. Además, si ∇ es
una conexión lineal en E y ∇1, ∇2, α1 y α2 denotan sus componentes relativas
a la descomposición g-ortogonal E = E1 ⊕ E2, entonces ∇ es compatible con g

si, y solamente si, la conexión ∇i es compatible con la métrica gi = g |Ei , para
i = 1, 2; además, las aplicaciones α1 y α2 están relacionadas por la identidad

gx
(
α2
x(v, e1), e2

)
+ gx

(
e1, α

1
x(v, e2)

)
= 0, (17)

para cada x ∈ M , v ∈ TxM , e1 ∈ E1
x, e2 ∈ E2

x. La condición (17) permite escribir
la aplicación α1 en términos de la aplicación α2 y del tensor métrico g; luego si
E = E1 ⊕ E2 es una descomposición en suma directa g-ortogonal, para describir
las componentes de una conexión lineal ∇ en E compatible con g solo es necesario
especificar conexiones ∇1 y ∇2 en E1 y E2, respectivamente, compatibles con g1,
g2 y una sección suave α del fibrado vectorial Lin(TM,E1;E2).

3. Teorema de Frobenius

Sean M una variedad suave y D ⊂ TM una distribución suave en M . Por una
subvariedad integral para D entendemos una subvariedad inmersa S ⊂ M para la
cual TxS = Dx, para cada x ∈ S. Decimos que D es integrable si dado x ∈ M ,
existe una subvariedad integral S para D con x ∈ S. La distribución D ⊂ TM es
llamada involutiva si para cada X,Y ∈ Γ(D) se tiene [X,Y ] ∈ Γ(D).

El siguiente resultado se demuestra en [4].

Teorema 3.1 (Frobenius). Sea M una variedad suave. Una distribución suave
D ⊂ TM en M es involutiva si, y solamente si, es integrable.

El teorema de Frobenius puede interpretarse como un resultado que garantiza la
existencia de soluciones para cierta clase de ecuaciones diferenciales de primer
orden; informalmente hablando, ecuaciones de la forma dfx = F

(
x, f(x)

)
. La

relación entre las soluciones de este tipo de ecuaciones y los elementos que apare-
cen en el enunciado del teorema se establece de la siguiente forma: si f es una
solución para una ecuación del tipo dfx = F

(
x, f(x)

)
, su gráfico es una subvarie-

dad integral de una distribución apropiada. El caso en el cual estamos interesados
se describe enseguida.

Dadas las variedades suaves M y N , supóngase que se tienen 1-formas λM y
λN en M y en N , respectivamente, a valores en un espacio vectorial real finito-
dimensional V ; además, suponga que para cada y ∈ N la aplicación λN

y : TyN →

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 39

V es un isomorfismo. Estamos interesados en encontrar una aplicación suave f :

U → N definida en un conjunto abierto U ⊂ M con

f∗λN = λM |U . (18)

Nótese que (18) es equivalente a la igualdad df(x) = τxf(x), donde, para y ∈ N y
x ∈ M , τxy : TxM → TyN denota la aplicación lineal definida por

τxy = (λN
y )−1 ◦ λM

x . (19)

Considérese la distribución suave D en M ×N definida por

D(x,y) = Gr(τxy) ⊂ TxM ⊕ TyN ∼= T(x,y)(M ×N), (20)

para cada y ∈ N y x ∈ M . Es claro que una función suave f : U → N definida en
un subconjunto abierto U de M satisface (18) si, y solamente si, el gráfico de f es
una subvariedad integral para D. Por lo tanto, la existencia de la aplicación f sa-
tisfaciendo (18) puede ser obtenida como una aplicación del teorema de Frobenius.
Más específicamente, se tiene el siguiente resultado [3]:

Teorema 3.2. Sean M y N variedades suaves. Supóngase que se tienen 1-formas
suaves λM y λN en M y N respectivamente, a valores en un espacio vectorial
real finito-dimensional V , tales que λN

y : TyN → V es un isomorfismo, para cada
y ∈ N . Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) para cada x ∈ M , y ∈ N existe una aplicación suave f : U → N definida
en una vecindad abierta U de x en M con f(x) = y tal que la igualdad (18)
se verifica;

(b) para cada x ∈ M , y ∈ N , τ∗xydλ
N
y = dλM

x , donde τxy : TxM → TyN es la
aplicación lineal definida en (19).

Observación 3.3. Un caso particular interesante del teorema anterior sucede
cuando N es un grupo de Lie y λN denota la forma de Maurer-Cartan para N ,
ya que si λM es una 1-forma suave definida en una variedad suave M a valores en
el álgebra de Lie de N , la condición (b) del enunciado equivale a que λM satisface
la ecuación de Maurer-Cartan, más específicamente, dλM = −1

2λ
M ∧ λM .

4. Inmersiones isométricas

4.1. Notación y preliminares

Sean (M,g) y (M, ḡ) variedades riemannianas. Por una inmersión isométrica de
(M,g) en (M, ḡ) entendemos una aplicación suave f : M → M tal que

ḡf(x)
(
dfx(v),dfx(w)

)
= gx(v,w), (21)

Vol. 29, No. 1, 2011]



40 C.A. Marín Arango

para cada x ∈ M , v,w ∈ TxM .

En este caso, el morfismo de fibrados vectoriales df : TM → TM induce un mor-
fismo de fibrados vectoriales inyectivo df : TM → f∗TM , cuya imagen df(TM)

es un subfibrado vectorial de f∗TM que es isomorfo a TM . El pull-back de la
estructura riemanniana ḡ por la función f denotado por f∗ḡ, es una estructura
riemanniana en el fibrado vectorial f∗TM . El subfibrado f∗ḡ-ortogonal a df(TM)

en f∗TM se denota por f⊥ y es llamado fibrado normal de la inmersión isométrica
f . De este modo, la expresión

f∗TM = df(TM)⊕ f⊥ (22)

define una descomposición en suma directa f∗ḡ-ortogonal. Si ∇ denota la cone-
xión de Levi-Civita de (M, ḡ), i.e., ∇ es la única conexión TM que es simétrica
y compatible con ḡ, considérese la conexión obtenida por el pull-back f∗∇. Las
componentes de f∗∇ relativas a la descomposición (22) son denotadas por ∇, ∇⊥,
α, en que ∇ es una conexión en df(TM), ∇⊥ es una conexión en el fibrado normal
f⊥ y α es una sección suave del fibrado Lin(TM,df(TM); f⊥). Es claro que ∇
es compatible con la estructura riemanniana de TM obtenida por la restricción
de ḡ (más precisamente, f∗ḡ); además, haciendo ι1 = df : TM → df(TM),
ι = df : TM → f∗TM se tiene:

0 = T (dfx · v,dfx · w) = T ι
x(v,w) = T ι1

x (v,w) + αx (v, ι1(x))− αx (w, ι1(v))

para cada x ∈ M , v,w ∈ TxM , en que T denota el tensor de torsión de la conexión
∇, T ι denota la ι-torsión de f∗∇ y T ι1 denota la ι1-torsión de ∇. Dado que (22)
es una descomposición f∗ḡ-ortogonal, podemos concluir que T ι1 = 0; y además,
que αx (v, ι1(x)) = αx (w, ι1(v)) para cada x ∈ M , v,w ∈ TxM . Luego, usando ι1
para identificar TM con df(TM), se sigue que ∇ es la conexión de Levi-Civita
de (M,g); también, que α puede identificarse con una sección suave del fibrado
Lins2(TM, f⊥), i.e., para cada x ∈ M , αx : TxM × TxM → f⊥

x es una forma
bilineal simétrica llamada la segunda forma fundamental de la inmersión f .

4.2. Ecuaciones de Gauss, Codazzi, Ricci

Con base a la terminología y la notación de la sección anterior, cabe indagar sobre
la relación existente entre los tensores de curvatura R, R y R⊥ de las conexiones
∇, ∇, ∇⊥; la respuesta a este interrogante es dada por las ecuaciones de Gauss,
Codazzi, Ricci , las cuales son, respectivamente:

ḡ
(
R(X,Y )Z,W

)
= g

(
R(X,Y )Z,W

)
+ g⊥

(
α(X,Z), α(Y,W )

)

−g⊥
(
α(X,W ), α(Y,Z)

)
,

(23)

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 41

para cada X,Y,Z,W ∈ Γ(TM);

R(X,Y )Z⊥ = ∇⊥
Xα(Y,Z)−∇⊥

Y α(X,Z), (24)

para cada X,Y,Z ∈ Γ(TM);

ḡ
(
R̄(X,Y )ξ, η

)
= g⊥

(
R⊥(X,Y )ξ, η

)
− g

(
[Aξ, Aη]X,Y

)
, (25)

para cada X,Y ∈ Γ(TM), ξ, η ∈ Γ(f⊥). A : TM × f⊥ → f⊥ es la aplicación
definida por

g
(
AξX,Y

)
= g⊥

(
α(X,Y ), ξ

)
,

con [Aξ, Aη ] = AξAη −AηAξ.

En particular, si M tiene curvatura seccional constante c, sabemos que

R(X,Y )Z = c (ḡ(Y,Z)X − ḡ(X,Z)Y )

para cada X,Y,Z ∈ Γ(TM); y en este caso, para X,Y,Z,W ∈ Γ(TM), ξ, η ∈
Γ(f⊥), las ecuaciones de Gauss, Codazzi y Ricci son, respectivamente:

c
(
g(Y,Z)g(X,W ) − g(X,Z)g(Y,W )

)
= g

(
R(X,Y )Z,W

)

+ g⊥
(
α(X,Z), α(Y,W )

)
− g⊥

(
α(X,W ), α(Y,Z)

)
; (26)

∇⊥
Xα(Y,Z) = ∇⊥

Y α(X,Z); (27)

g⊥
(
R⊥(X,Y )ξ, η

)
= g

(
[Aξ, Aη ]X,Y

)
. (28)

4.3. Relacionando inmersiones isométricas con formas en fibrados principales

Las ecuaciones de Gauss, Codazzi y Ricci son condiciones necesarias para la exis-
tencia de una inmersión isométrica f : (M,g) → (M, ḡ). Estas son también condi-
ciones localmente suficientes; este es el contenido del conocido Teorema fundamen-
tal de las inmersiones isométricas [1].

Teorema 4.1. Sean (Mn, g), (M
n̄
, ḡ) variedades riemannianas, π : (E, gE) → M

un fibrado vectorial riemanniano con fibra típica Rk (k + n = n̄) dotado de una
conexión compatible ∇E. Sea α0 ∈ Γ

(
Lins2(TM ;E)

)
. Para cada ξ ∈ Γ(E) se

define Aξ : TM → TM por

g
(
AξX,Y

)
= gE

(
α0(X,Y ), ξ)

)
.

Vol. 29, No. 1, 2011]



40 C.A. Marín Arango

para cada x ∈ M , v,w ∈ TxM .

En este caso, el morfismo de fibrados vectoriales df : TM → TM induce un mor-
fismo de fibrados vectoriales inyectivo df : TM → f∗TM , cuya imagen df(TM)

es un subfibrado vectorial de f∗TM que es isomorfo a TM . El pull-back de la
estructura riemanniana ḡ por la función f denotado por f∗ḡ, es una estructura
riemanniana en el fibrado vectorial f∗TM . El subfibrado f∗ḡ-ortogonal a df(TM)

en f∗TM se denota por f⊥ y es llamado fibrado normal de la inmersión isométrica
f . De este modo, la expresión

f∗TM = df(TM)⊕ f⊥ (22)

define una descomposición en suma directa f∗ḡ-ortogonal. Si ∇ denota la cone-
xión de Levi-Civita de (M, ḡ), i.e., ∇ es la única conexión TM que es simétrica
y compatible con ḡ, considérese la conexión obtenida por el pull-back f∗∇. Las
componentes de f∗∇ relativas a la descomposición (22) son denotadas por ∇, ∇⊥,
α, en que ∇ es una conexión en df(TM), ∇⊥ es una conexión en el fibrado normal
f⊥ y α es una sección suave del fibrado Lin(TM,df(TM); f⊥). Es claro que ∇
es compatible con la estructura riemanniana de TM obtenida por la restricción
de ḡ (más precisamente, f∗ḡ); además, haciendo ι1 = df : TM → df(TM),
ι = df : TM → f∗TM se tiene:

0 = T (dfx · v,dfx · w) = T ι
x(v,w) = T ι1

x (v,w) + αx (v, ι1(x))− αx (w, ι1(v))

para cada x ∈ M , v,w ∈ TxM , en que T denota el tensor de torsión de la conexión
∇, T ι denota la ι-torsión de f∗∇ y T ι1 denota la ι1-torsión de ∇. Dado que (22)
es una descomposición f∗ḡ-ortogonal, podemos concluir que T ι1 = 0; y además,
que αx (v, ι1(x)) = αx (w, ι1(v)) para cada x ∈ M , v,w ∈ TxM . Luego, usando ι1
para identificar TM con df(TM), se sigue que ∇ es la conexión de Levi-Civita
de (M,g); también, que α puede identificarse con una sección suave del fibrado
Lins2(TM, f⊥), i.e., para cada x ∈ M , αx : TxM × TxM → f⊥

x es una forma
bilineal simétrica llamada la segunda forma fundamental de la inmersión f .

4.2. Ecuaciones de Gauss, Codazzi, Ricci

Con base a la terminología y la notación de la sección anterior, cabe indagar sobre
la relación existente entre los tensores de curvatura R, R y R⊥ de las conexiones
∇, ∇, ∇⊥; la respuesta a este interrogante es dada por las ecuaciones de Gauss,
Codazzi, Ricci , las cuales son, respectivamente:

ḡ
(
R(X,Y )Z,W

)
= g

(
R(X,Y )Z,W

)
+ g⊥

(
α(X,Z), α(Y,W )

)

−g⊥
(
α(X,W ), α(Y,Z)

)
,

(23)

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 41

para cada X,Y,Z,W ∈ Γ(TM);

R(X,Y )Z⊥ = ∇⊥
Xα(Y,Z)−∇⊥

Y α(X,Z), (24)

para cada X,Y,Z ∈ Γ(TM);

ḡ
(
R̄(X,Y )ξ, η

)
= g⊥

(
R⊥(X,Y )ξ, η

)
− g

(
[Aξ, Aη]X,Y

)
, (25)

para cada X,Y ∈ Γ(TM), ξ, η ∈ Γ(f⊥). A : TM × f⊥ → f⊥ es la aplicación
definida por

g
(
AξX,Y

)
= g⊥

(
α(X,Y ), ξ

)
,

con [Aξ, Aη ] = AξAη −AηAξ.

En particular, si M tiene curvatura seccional constante c, sabemos que

R(X,Y )Z = c (ḡ(Y,Z)X − ḡ(X,Z)Y )

para cada X,Y,Z ∈ Γ(TM); y en este caso, para X,Y,Z,W ∈ Γ(TM), ξ, η ∈
Γ(f⊥), las ecuaciones de Gauss, Codazzi y Ricci son, respectivamente:

c
(
g(Y,Z)g(X,W ) − g(X,Z)g(Y,W )

)
= g

(
R(X,Y )Z,W

)

+ g⊥
(
α(X,Z), α(Y,W )

)
− g⊥

(
α(X,W ), α(Y,Z)

)
; (26)

∇⊥
Xα(Y,Z) = ∇⊥

Y α(X,Z); (27)

g⊥
(
R⊥(X,Y )ξ, η

)
= g

(
[Aξ, Aη ]X,Y

)
. (28)

4.3. Relacionando inmersiones isométricas con formas en fibrados principales

Las ecuaciones de Gauss, Codazzi y Ricci son condiciones necesarias para la exis-
tencia de una inmersión isométrica f : (M,g) → (M, ḡ). Estas son también condi-
ciones localmente suficientes; este es el contenido del conocido Teorema fundamen-
tal de las inmersiones isométricas [1].

Teorema 4.1. Sean (Mn, g), (M
n̄
, ḡ) variedades riemannianas, π : (E, gE) → M

un fibrado vectorial riemanniano con fibra típica Rk (k + n = n̄) dotado de una
conexión compatible ∇E. Sea α0 ∈ Γ

(
Lins2(TM ;E)

)
. Para cada ξ ∈ Γ(E) se

define Aξ : TM → TM por

g
(
AξX,Y

)
= gE

(
α0(X,Y ), ξ)

)
.

Vol. 29, No. 1, 2011]



42 C.A. Marín Arango

Si M es completa, simplemente conexa y posee curvatura seccional constante c,
y α0,∇E satisfacen las ecuaciones de Gauss, Codazzi, Ricci para el caso de cur-
vatura seccional constante c, entonces para cada x ∈ M existe un entorno abierto
U ⊂ M y un par (f, L) en que f : U → M es una inmersión isométrica y
L : E |U→ f⊥ es un isomorfismo de fibrados vectoriales tal que

(1) para cada y ∈ U , Ly :
(
Ey, g

E
y

)
→

(
f⊥
y , g⊥y ⊥) es una isometría;

(2) L
(
α0(·, ·)

)
= α(·, ·) (α segunda forma fundamental de f);

(3) L preserva conexión (E dotado con ∇E, f⊥ dotado de la conexión ∇⊥).

El interés de este trabajo es responder el siguiente cuestionamiento: Dadas va-
riedades riemannianas (Mn, g), (M

n̄
, ḡ), ¿cuándo es posible encontrar una inmer-

sión isométrica f : U ⊂ M → M con segunda forma fundamental y conexión nor-
mal preestablecidas? Más específicamente, dados un fibrado vectorial riemanniano
π : (E, gE) → M con fibra típica Rk (k+n = n̄) dotado de una conexión compat-
ible ∇E y una sección simétrica α0 del fibrado Lin2(TM ;E), ¿cuándo es posible
encontrar un par (f, L) en que f : U ⊂ M → M es una inmersión isométrica y
L : E |U→ f⊥ es una isometría de fibrados que preserva conexión y relaciona α0

con la segunda forma fundamental de f?

Para responder a esta pregunta consideremos el fibrado vectorial riemanniano
(Ê, ĝ) = (TM, g) ⊕ (E, gE). Sea ∇̂ una conexión compatible con la estructura
riemanniana ĝ en Ê, y cuyas componentes relativas a esta descomposición en
suma directa ortogonal para Ê son la conexión de Levi-Civita ∇ de (M,g), la
conexión dada ∇E en E y la aplicación α0. En este caso, para X,Y,Z,W ∈
Γ(TM), ξ, η ∈ Γ(E) el tensor de curvatura para ∇̂ es dado por:

ĝ
(
R̂(X,Y )Z,W

)
= g

(
R(X,Y )Z,W

)
+ gE

(
α0(X,Z), α0(Y,W )

)

− gE
(
α0(X,W ), α0(Y,Z)

)
, (29)

ĝ
(
R̂(X,Y )Z, ξ

)
= gE

(
∇E

Xα0(Y,Z)−∇E
Y α0(X,Z), ξ), (30)

ĝ
(
R̂(X,Y )ξ, η

)
= gE

(
RE(X,Y )ξ, η

)
− g

(
[Aξ, Aη ]X,Y

)
. (31)

El problema de determinar la existencia de un par (f, L) satisfaciendo las condi-
ciones anteriores es equivalente a determinar la existencia de una aplicación suave
f : U ⊂ M → M y una isometría S : Ê |U→ f∗(TM) que relacione la conexión
(f∗∇̄) con la conexión ∇̂ |U y además satisfaga que S |TM= df . Tal isometría

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 43

S : Ê |U→ f∗(TM) también relaciona el tensor de curvatura R̂ de la conexión ∇̂
con el tensor de curvatura f∗R de la conexión (f∗∇̄). Más explícitamente,

ĝ
(
R̂(X,Y )ξ, η

)
= ḡ

(
R(S(X), S(Y ))S(ξ), S(η)

)
, (32)

para cada X,Y ∈ Γ(TM) cada ξ, η ∈ Γ(Ê).

Para resolver esta situación presentamos el siguiente lema.

Lema 4.2. Sean Mn,M
n̄

variedades suaves, π : E → M un fibrado vectorial con
fibra típica Rk (k+n = n̄), ∇̂ y ∇ conexiones lineales en los fibrados Ê = TM⊕E

y TM respectivamente. Sean s : U → FR(Ê) un referencial local para Ê, f : U →
M una función arbitraria y S : Ê|U → f∗(TM) una aplicación biyectiva lineal en
cada fibra. Defínase F : U → FR(TM) haciendo

F (x) = Sx ◦ s(x) ∈ FR(Tf(x)M),

para cada x ∈ U . Si ω̄, ω̂ denotan las respectivas formas de conexión en FR(TM)

y FR(Ê) asociadas con las conexiones lineales ∇ y ∇̂, y también si θ̄, θ̂ denotan
las formas canónicas de FR(TM) y FR(Ê), respectivamente, entonces f es una
aplicación suave, S es un isomorfismo de fibrados vectoriales que relaciona la
conexión ∇̂ con la conexión f∗∇̄, y además, S |TM= df si, y solamente si, la
aplicación F es suave y se cumple

F ∗θ̄ = s∗θ̂, (33)

F ∗ω̄ = s∗ω̂. (34)

Demostración. Sea S∗ : FR(Ê) → FR(f∗TM) = f∗FR(TM) la aplicación de
fibrados principales inducida por S que se define como S∗(p) = S ◦ p, para cada
p ∈ FR(Ê). Sea también f̄ : f∗FR(TM) → FR(TM ) la aplicación canónica del
pull-back f∗FR(TM) ⊂ TM |U × FR(TM ), la cual es simplemente la restricción
a este conjunto de la proyección en la segunda coordenada del producto TM |U
× FR(TM ). Es claro que:

F = f̄ ◦ S∗ ◦ s. (35)

Afirmamos que la aplicación F es suave si, y solamente si, ambas f y S son
suaves. En efecto, si ambas f y S son aplicaciones suaves, entonces la igualdad
(35) implica que la aplicación F es suave. Recíprocamente, si F es suave, entonces
f también lo es, dado que f = Π ◦ F , en que Π : FR(TM) → M es la proyección
canónica. Además, F es una sección local de FR(TM) a lo largo de f , luego la
sección local correspondiente para f∗FR(TM),

S∗ ◦ s = F,

Vol. 29, No. 1, 2011]



42 C.A. Marín Arango

Si M es completa, simplemente conexa y posee curvatura seccional constante c,
y α0,∇E satisfacen las ecuaciones de Gauss, Codazzi, Ricci para el caso de cur-
vatura seccional constante c, entonces para cada x ∈ M existe un entorno abierto
U ⊂ M y un par (f, L) en que f : U → M es una inmersión isométrica y
L : E |U→ f⊥ es un isomorfismo de fibrados vectoriales tal que

(1) para cada y ∈ U , Ly :
(
Ey, g

E
y

)
→

(
f⊥
y , g⊥y ⊥) es una isometría;

(2) L
(
α0(·, ·)

)
= α(·, ·) (α segunda forma fundamental de f);

(3) L preserva conexión (E dotado con ∇E, f⊥ dotado de la conexión ∇⊥).

El interés de este trabajo es responder el siguiente cuestionamiento: Dadas va-
riedades riemannianas (Mn, g), (M

n̄
, ḡ), ¿cuándo es posible encontrar una inmer-

sión isométrica f : U ⊂ M → M con segunda forma fundamental y conexión nor-
mal preestablecidas? Más específicamente, dados un fibrado vectorial riemanniano
π : (E, gE) → M con fibra típica Rk (k+n = n̄) dotado de una conexión compat-
ible ∇E y una sección simétrica α0 del fibrado Lin2(TM ;E), ¿cuándo es posible
encontrar un par (f, L) en que f : U ⊂ M → M es una inmersión isométrica y
L : E |U→ f⊥ es una isometría de fibrados que preserva conexión y relaciona α0

con la segunda forma fundamental de f?

Para responder a esta pregunta consideremos el fibrado vectorial riemanniano
(Ê, ĝ) = (TM, g) ⊕ (E, gE). Sea ∇̂ una conexión compatible con la estructura
riemanniana ĝ en Ê, y cuyas componentes relativas a esta descomposición en
suma directa ortogonal para Ê son la conexión de Levi-Civita ∇ de (M,g), la
conexión dada ∇E en E y la aplicación α0. En este caso, para X,Y,Z,W ∈
Γ(TM), ξ, η ∈ Γ(E) el tensor de curvatura para ∇̂ es dado por:

ĝ
(
R̂(X,Y )Z,W

)
= g

(
R(X,Y )Z,W

)
+ gE

(
α0(X,Z), α0(Y,W )

)

− gE
(
α0(X,W ), α0(Y,Z)

)
, (29)

ĝ
(
R̂(X,Y )Z, ξ

)
= gE

(
∇E

Xα0(Y,Z)−∇E
Y α0(X,Z), ξ), (30)

ĝ
(
R̂(X,Y )ξ, η

)
= gE

(
RE(X,Y )ξ, η

)
− g

(
[Aξ, Aη ]X,Y

)
. (31)

El problema de determinar la existencia de un par (f, L) satisfaciendo las condi-
ciones anteriores es equivalente a determinar la existencia de una aplicación suave
f : U ⊂ M → M y una isometría S : Ê |U→ f∗(TM) que relacione la conexión
(f∗∇̄) con la conexión ∇̂ |U y además satisfaga que S |TM= df . Tal isometría

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 43

S : Ê |U→ f∗(TM) también relaciona el tensor de curvatura R̂ de la conexión ∇̂
con el tensor de curvatura f∗R de la conexión (f∗∇̄). Más explícitamente,

ĝ
(
R̂(X,Y )ξ, η

)
= ḡ

(
R(S(X), S(Y ))S(ξ), S(η)

)
, (32)

para cada X,Y ∈ Γ(TM) cada ξ, η ∈ Γ(Ê).

Para resolver esta situación presentamos el siguiente lema.

Lema 4.2. Sean Mn,M
n̄

variedades suaves, π : E → M un fibrado vectorial con
fibra típica Rk (k+n = n̄), ∇̂ y ∇ conexiones lineales en los fibrados Ê = TM⊕E

y TM respectivamente. Sean s : U → FR(Ê) un referencial local para Ê, f : U →
M una función arbitraria y S : Ê|U → f∗(TM) una aplicación biyectiva lineal en
cada fibra. Defínase F : U → FR(TM) haciendo

F (x) = Sx ◦ s(x) ∈ FR(Tf(x)M),

para cada x ∈ U . Si ω̄, ω̂ denotan las respectivas formas de conexión en FR(TM)

y FR(Ê) asociadas con las conexiones lineales ∇ y ∇̂, y también si θ̄, θ̂ denotan
las formas canónicas de FR(TM) y FR(Ê), respectivamente, entonces f es una
aplicación suave, S es un isomorfismo de fibrados vectoriales que relaciona la
conexión ∇̂ con la conexión f∗∇̄, y además, S |TM= df si, y solamente si, la
aplicación F es suave y se cumple

F ∗θ̄ = s∗θ̂, (33)

F ∗ω̄ = s∗ω̂. (34)

Demostración. Sea S∗ : FR(Ê) → FR(f∗TM) = f∗FR(TM) la aplicación de
fibrados principales inducida por S que se define como S∗(p) = S ◦ p, para cada
p ∈ FR(Ê). Sea también f̄ : f∗FR(TM) → FR(TM ) la aplicación canónica del
pull-back f∗FR(TM) ⊂ TM |U × FR(TM ), la cual es simplemente la restricción
a este conjunto de la proyección en la segunda coordenada del producto TM |U
× FR(TM ). Es claro que:

F = f̄ ◦ S∗ ◦ s. (35)

Afirmamos que la aplicación F es suave si, y solamente si, ambas f y S son
suaves. En efecto, si ambas f y S son aplicaciones suaves, entonces la igualdad
(35) implica que la aplicación F es suave. Recíprocamente, si F es suave, entonces
f también lo es, dado que f = Π ◦ F , en que Π : FR(TM) → M es la proyección
canónica. Además, F es una sección local de FR(TM) a lo largo de f , luego la
sección local correspondiente para f∗FR(TM),

S∗ ◦ s = F,

Vol. 29, No. 1, 2011]



44 C.A. Marín Arango

es suave; como s es una sección local arbitraria del atlas de secciones locales
del fibrado principal FR(Ê)|U , se tiene que S∗ : FR(Ê)|U → FR(f∗TM) es un
isomorfismo suave de fibrados principales cuyo morfismo subyacente de grupos
estructurales es la aplicación identidad de GL(Rn̄). Esto muestra que la aplicación
S es suave.

Asumamos ahora que F , f y S son aplicaciones suaves y veamos que S preserva
conexión (i.e., S relaciona las conexión ∇̂ con la conexión f∗∇̄) si, y solamente si,
la igualdad (34) se satisface. En efecto, S preserva conexión si, y solamente si, la
aplicación inducida S∗ : FR(Ê) → FR(f∗TM) preserva conexión. Por definición,
la forma de conexión del pull-back FR(f∗TM) = f∗FR(TM) es igual a f̄∗ω;
luego, S∗ preserva conexión si, y solamente si

(S∗ ◦ s)∗(f̄∗ω) = s∗ω̂. (36)

Pero (36) es obviamente lo mismo que (34).

Finalmente probemos que para cada x ∈ U,Sx |TxM= dfx si, y solamente si, la
igualdad (33) es satisfecha. Como consecuencia de (8), dado x ∈ U se vale

s∗θ̂x = s(x)−1 ◦ ιx, F ∗θx = θF (x) (dFx) = F (x)−1 ◦ dΠF (x) ◦ dFx,

en donde ι : TM → Ê denota la aplicación inclusión, vemos que la igualdad (33)
se cumple si, y solamente si

F (x)−1 ◦ dΠF (x) ◦ dFx = s(x)−1 ◦ ιx, (37)

para cada x ∈ U . Como Π ◦F = f , se tiene que (37) se cumple si, y solamente si,

F (x)−1 ◦ dfx = s(x)−1 |TxM , (38)

para cada x ∈ U . Finalmente, dado que F (x) = Sx ◦ s(x), es claro que (38) se
cumple si, y solamente si, Sx |TxM= dfx. Esto concluye la prueba. ����

Sean P̂ ⊂ FR(Ê) y P ⊂ FR(TM) las O(n̄)-estructuras en Ê y TM inducidas por
las métricas ĝ y ḡ respectivamente. Es decir, P̂ y P consisten de los referenciales
ortogonales en los respectivos fibrados Ê y TM . Sean s : U → P̂ un referencial
local ortogonal para Ê y F : U → P una aplicación suave tal que las igualdades
(33), (34)1, son satisfechas. Sean f : U → M , S : Ê |U→ f∗TM las aplicaciones
definidas por

f = Π ◦ F, Sx = F (x) ◦ s(x)−1 : Êx −→ Tf(x)M = (f∗TM)x,

1Como ∇ es la conexión de Levi-Civita en TM , la restricción de ω al fibrado principal P
induce una conexión en él.

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 45

para cada x ∈ U . Como consecuencia del Lema 4.2 se tiene que f y S son aplica-
ciones suaves y S es una isometría que relaciona ∇̂ con f∗∇̄ y S |TM= df . Luego
el par (f, S |E) es una solución al problema de inmersión inicialmente planteado.

En las siguientes secciones, apoyados en el Teorema 3.2, construiremos la apli-
cación suave F : U → P de modo que las igualdades (33), (34) sean satisfechas.

4.4. Inmersiones en espacios de curvatura seccional constante

Estudiamos en lo que sigue el problema de la existencia de inmersiones isométricas
en los espacios completos conexos y simplemente conexos de curvatura seccional
constante. Con base a la notación empleada en la sección anterior, escribiremos
M para denotar cualquiera de las tres variedades en cuestión, Rn,Sn o Hn.

Sean (M,g) una variedad riemanniana, π : (E, gE) → M un fibrado vectorial
riemanniano con fibra típica Rk (k + n = n̄) dotado de una conexión lineal com-
patible ∇E y α0 una sección del fibrado Lins2(TM ;E). Consideremos el fibrado
vectorial riemanniano (Ê, ĝ) = (TM, g) ⊕ (E, gE). Sea ∇̂ una conexión compa-
tible con la estructura riemanniana ĝ en Ê y cuyas componentes relativas a esta
descomposición son la conexión de Levi-Civita ∇ de (M,g), la conexión ∇E en E

y la aplicación α0. Sea s : U → P̂ un referencial local ortogonal para Ê.

Como consecuencia de lo presentado en la sección 4.3 tenemos:

Teorema 4.3. Empleando la notación y la terminología antes vista, las siguientes
condiciones son equivalentes:

(1) α0,∇E satisfacen las ecuaciones de Gauss, Codazzi, Ricci para el caso de
curvatura seccional constante c;

(2) para cada x ∈ M , existe un entorno abierto U ⊂ M y un par (f, S) en que
f : U → M es una aplicación suave y S : Ê |U→ f∗(TM ) es una isometría
de fibrados vectoriales que relaciona la conexión (f∗∇̄) con la conexión ∇̂ |U ,
y además satisface que S |TM= df ;

(3) F ∗θ̄ = s∗θ̂, F ∗ω̄ = s∗ω̂, donde F : U → P es la aplicación definida por

F (x) = Sx ◦ s(x) ∈ P f(x),

para cada x ∈ U . Además, ω̄ y ω̂ denotan las respectivas formas de conexión
en FR(TM ) y FR(Ê) asociadas con las conexiones lineales ∇, ∇̂, y θ̄, θ̂

denotan las formas canónicas de FR(TM ) y FR(Ê), respectivamente.

Vol. 29, No. 1, 2011]



44 C.A. Marín Arango

es suave; como s es una sección local arbitraria del atlas de secciones locales
del fibrado principal FR(Ê)|U , se tiene que S∗ : FR(Ê)|U → FR(f∗TM) es un
isomorfismo suave de fibrados principales cuyo morfismo subyacente de grupos
estructurales es la aplicación identidad de GL(Rn̄). Esto muestra que la aplicación
S es suave.

Asumamos ahora que F , f y S son aplicaciones suaves y veamos que S preserva
conexión (i.e., S relaciona las conexión ∇̂ con la conexión f∗∇̄) si, y solamente si,
la igualdad (34) se satisface. En efecto, S preserva conexión si, y solamente si, la
aplicación inducida S∗ : FR(Ê) → FR(f∗TM) preserva conexión. Por definición,
la forma de conexión del pull-back FR(f∗TM) = f∗FR(TM) es igual a f̄∗ω;
luego, S∗ preserva conexión si, y solamente si

(S∗ ◦ s)∗(f̄∗ω) = s∗ω̂. (36)

Pero (36) es obviamente lo mismo que (34).

Finalmente probemos que para cada x ∈ U,Sx |TxM= dfx si, y solamente si, la
igualdad (33) es satisfecha. Como consecuencia de (8), dado x ∈ U se vale

s∗θ̂x = s(x)−1 ◦ ιx, F ∗θx = θF (x) (dFx) = F (x)−1 ◦ dΠF (x) ◦ dFx,

en donde ι : TM → Ê denota la aplicación inclusión, vemos que la igualdad (33)
se cumple si, y solamente si

F (x)−1 ◦ dΠF (x) ◦ dFx = s(x)−1 ◦ ιx, (37)

para cada x ∈ U . Como Π ◦F = f , se tiene que (37) se cumple si, y solamente si,

F (x)−1 ◦ dfx = s(x)−1 |TxM , (38)

para cada x ∈ U . Finalmente, dado que F (x) = Sx ◦ s(x), es claro que (38) se
cumple si, y solamente si, Sx |TxM= dfx. Esto concluye la prueba. ����

Sean P̂ ⊂ FR(Ê) y P ⊂ FR(TM) las O(n̄)-estructuras en Ê y TM inducidas por
las métricas ĝ y ḡ respectivamente. Es decir, P̂ y P consisten de los referenciales
ortogonales en los respectivos fibrados Ê y TM . Sean s : U → P̂ un referencial
local ortogonal para Ê y F : U → P una aplicación suave tal que las igualdades
(33), (34)1, son satisfechas. Sean f : U → M , S : Ê |U→ f∗TM las aplicaciones
definidas por

f = Π ◦ F, Sx = F (x) ◦ s(x)−1 : Êx −→ Tf(x)M = (f∗TM)x,

1Como ∇ es la conexión de Levi-Civita en TM , la restricción de ω al fibrado principal P
induce una conexión en él.

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 45

para cada x ∈ U . Como consecuencia del Lema 4.2 se tiene que f y S son aplica-
ciones suaves y S es una isometría que relaciona ∇̂ con f∗∇̄ y S |TM= df . Luego
el par (f, S |E) es una solución al problema de inmersión inicialmente planteado.

En las siguientes secciones, apoyados en el Teorema 3.2, construiremos la apli-
cación suave F : U → P de modo que las igualdades (33), (34) sean satisfechas.

4.4. Inmersiones en espacios de curvatura seccional constante

Estudiamos en lo que sigue el problema de la existencia de inmersiones isométricas
en los espacios completos conexos y simplemente conexos de curvatura seccional
constante. Con base a la notación empleada en la sección anterior, escribiremos
M para denotar cualquiera de las tres variedades en cuestión, Rn,Sn o Hn.

Sean (M,g) una variedad riemanniana, π : (E, gE) → M un fibrado vectorial
riemanniano con fibra típica Rk (k + n = n̄) dotado de una conexión lineal com-
patible ∇E y α0 una sección del fibrado Lins2(TM ;E). Consideremos el fibrado
vectorial riemanniano (Ê, ĝ) = (TM, g) ⊕ (E, gE). Sea ∇̂ una conexión compa-
tible con la estructura riemanniana ĝ en Ê y cuyas componentes relativas a esta
descomposición son la conexión de Levi-Civita ∇ de (M,g), la conexión ∇E en E

y la aplicación α0. Sea s : U → P̂ un referencial local ortogonal para Ê.

Como consecuencia de lo presentado en la sección 4.3 tenemos:

Teorema 4.3. Empleando la notación y la terminología antes vista, las siguientes
condiciones son equivalentes:

(1) α0,∇E satisfacen las ecuaciones de Gauss, Codazzi, Ricci para el caso de
curvatura seccional constante c;

(2) para cada x ∈ M , existe un entorno abierto U ⊂ M y un par (f, S) en que
f : U → M es una aplicación suave y S : Ê |U→ f∗(TM ) es una isometría
de fibrados vectoriales que relaciona la conexión (f∗∇̄) con la conexión ∇̂ |U ,
y además satisface que S |TM= df ;

(3) F ∗θ̄ = s∗θ̂, F ∗ω̄ = s∗ω̂, donde F : U → P es la aplicación definida por

F (x) = Sx ◦ s(x) ∈ P f(x),

para cada x ∈ U . Además, ω̄ y ω̂ denotan las respectivas formas de conexión
en FR(TM ) y FR(Ê) asociadas con las conexiones lineales ∇, ∇̂, y θ̄, θ̂

denotan las formas canónicas de FR(TM ) y FR(Ê), respectivamente.

Vol. 29, No. 1, 2011]



46 C.A. Marín Arango

Como consecuencia del Teorema 3.2 (ver Observación 3.3) es posible presentar
algunas condiciones adicionales equivalentes a las dadas en el Teorema 4.3. En
efecto, para esto veamos que el fibrado O(n̄)-principal P de los referenciales
ortonormales en M posee, además de una estructura de fibrado principal, una
estructura de grupo de Lie cuya forma de Maurer-Cartan está dada por la forma
canónica de FR(TM) y por la forma de conexión en FR(TM) asociada con la
conexión ∇.

Inmersiones en M = Rn

En este caso la afirmación es inmediata, puesto que P = O(n) × Rn, el cual,
además de ser un fibrado principal trivial sobre Rn con grupo estructural O(n),
es un grupo de Lie cuya álgebra de Lie es so(n)×Rn. Los elementos de este grupo
y de su álgebra matricialmente se representan como

p =

(
T t
0 1

)
, T ∈ O(n), t ∈ Rn;

V =

(
X x
0 0

)
, X ∈ so(n), x ∈ Rn.

Empleando (6) y (2), para cada p ∈ P , cada V ∈ so(n)× Rn se obtiene:

θ̄p(p · V ) = p−1
(
dΠp(p · V )

)
= p−1

(
dΠp

(
TX Tx
0 0

))
= p−1

(
Tx
0

)
= x,

ω̄p(p · V ) = ω̄p

(
TX 0
0 0

)
+ ω̄p

(
0 Tx
0 0

)
= p−1

(
TX 0
0 0

)
= X;

como la forma de Maurer-Cartan satisface λp(p · V ) = V , se tiene que λ = (ω̄, θ̄).

Con la notación del Teorema 4.3, el par (s∗ω̂, s∗θ̂) define una 1-forma en M a
valores en el álgebra de Lie so(n)×Rn. La condición (a) que aparece en el Teorema
3.2 (ver Observación 3.3) corresponde a la condición (3) en el Teorema 4.3; o sea,
se tiene una 1-forma en M que coincide con el pull-back por F de la forma de
Maurer-Cartan λ = (ω̄, θ̄) del grupo de Lie P . Luego el Teorema 3.2 garantiza
que el par (s∗ω̂, s∗θ̂) satisface la ecuación de Maurer-Cartan, lo que significa que
la condición (3) en el Teorema 4.3 es equivalente con la condición

(4) d
(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
= −1

2

(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
∧

(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
,

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 47

en que el producto ∧ es considerado relativo al conmutador del álgebra de Lie
so(n)×Rn. Calculando en so(n)×Rn y efectuando la derivada exterior, la condi-
ción (4) equivale a las identidades

s∗
(
dω̂ +

1

2
ω̂ ∧ ω̂

)
= 0, s∗

(
dθ̂ + ω̂ ∧ θ̂

)
= 0. (39)

Empleando las igualdades (7) y (5) concluimos que las igualdades en (39), son
equivalentes a

Ω̂ = 0, Θ̂ = 0. (40)

Por otro lado, como consecuencia de las igualdades (13) y (14) se tiene que las
igualdades en (40) equivalen a

(5) R̂ = 0, T̂ = 0,

en donde R̂ y T̂ denotan los tensores de curvatura y torsión respectivamente de
la conexión ∇̂. Acabamos de mostrar el siguiente resultado:

Teorema 4.4. Las condiciones (1), (2) y (3) enunciadas en el Teorema 4.3 para
c = 0 y M = Rn, son equivalentes a las condiciones

(4) d
(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
= −1

2

(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
∧

(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
;

(5) R̂ = 0, T̂ = 0.

Inmersiones en M = Sn

El espacio completo conexo simplemente conexo con curvatura seccional constante
c = 1, es la esfera M = Sn. El grupo de isometrías es el conjunto O(n + 1),
el cual puede ser interpretado como un fibrado principal sobre Sn con grupo
estructural O(n). A saber, considere la proyección Π : O(n+1) → Sn definida por
Π(p1, . . . , pn+1) = p1. Identificando el grupo O(n) con el subgrupo de O(n + 1)

dado por los elementos de la forma
(
1 0
0 T

)
, T ∈ O(n),

se tiene una acción suave por traslaciones a derecha, la cual preserva las fibras.
Para cada p ∈ O(n+ 1), se tiene:

Verp(O(n+ 1)) = p ·
(
0 0
0 A

)
, A ∈ so(n);

Vol. 29, No. 1, 2011]



46 C.A. Marín Arango

Como consecuencia del Teorema 3.2 (ver Observación 3.3) es posible presentar
algunas condiciones adicionales equivalentes a las dadas en el Teorema 4.3. En
efecto, para esto veamos que el fibrado O(n̄)-principal P de los referenciales
ortonormales en M posee, además de una estructura de fibrado principal, una
estructura de grupo de Lie cuya forma de Maurer-Cartan está dada por la forma
canónica de FR(TM) y por la forma de conexión en FR(TM) asociada con la
conexión ∇.

Inmersiones en M = Rn

En este caso la afirmación es inmediata, puesto que P = O(n) × Rn, el cual,
además de ser un fibrado principal trivial sobre Rn con grupo estructural O(n),
es un grupo de Lie cuya álgebra de Lie es so(n)×Rn. Los elementos de este grupo
y de su álgebra matricialmente se representan como

p =

(
T t
0 1

)
, T ∈ O(n), t ∈ Rn;

V =

(
X x
0 0

)
, X ∈ so(n), x ∈ Rn.

Empleando (6) y (2), para cada p ∈ P , cada V ∈ so(n)× Rn se obtiene:

θ̄p(p · V ) = p−1
(
dΠp(p · V )

)
= p−1

(
dΠp

(
TX Tx
0 0

))
= p−1

(
Tx
0

)
= x,

ω̄p(p · V ) = ω̄p

(
TX 0
0 0

)
+ ω̄p

(
0 Tx
0 0

)
= p−1

(
TX 0
0 0

)
= X;

como la forma de Maurer-Cartan satisface λp(p · V ) = V , se tiene que λ = (ω̄, θ̄).

Con la notación del Teorema 4.3, el par (s∗ω̂, s∗θ̂) define una 1-forma en M a
valores en el álgebra de Lie so(n)×Rn. La condición (a) que aparece en el Teorema
3.2 (ver Observación 3.3) corresponde a la condición (3) en el Teorema 4.3; o sea,
se tiene una 1-forma en M que coincide con el pull-back por F de la forma de
Maurer-Cartan λ = (ω̄, θ̄) del grupo de Lie P . Luego el Teorema 3.2 garantiza
que el par (s∗ω̂, s∗θ̂) satisface la ecuación de Maurer-Cartan, lo que significa que
la condición (3) en el Teorema 4.3 es equivalente con la condición

(4) d
(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
= −1

2

(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
∧

(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
,

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 47

en que el producto ∧ es considerado relativo al conmutador del álgebra de Lie
so(n)×Rn. Calculando en so(n)×Rn y efectuando la derivada exterior, la condi-
ción (4) equivale a las identidades

s∗
(
dω̂ +

1

2
ω̂ ∧ ω̂

)
= 0, s∗

(
dθ̂ + ω̂ ∧ θ̂

)
= 0. (39)

Empleando las igualdades (7) y (5) concluimos que las igualdades en (39), son
equivalentes a

Ω̂ = 0, Θ̂ = 0. (40)

Por otro lado, como consecuencia de las igualdades (13) y (14) se tiene que las
igualdades en (40) equivalen a

(5) R̂ = 0, T̂ = 0,

en donde R̂ y T̂ denotan los tensores de curvatura y torsión respectivamente de
la conexión ∇̂. Acabamos de mostrar el siguiente resultado:

Teorema 4.4. Las condiciones (1), (2) y (3) enunciadas en el Teorema 4.3 para
c = 0 y M = Rn, son equivalentes a las condiciones

(4) d
(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
= −1

2

(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
∧

(
s∗ω̂, s∗θ̂

)
;

(5) R̂ = 0, T̂ = 0.

Inmersiones en M = Sn

El espacio completo conexo simplemente conexo con curvatura seccional constante
c = 1, es la esfera M = Sn. El grupo de isometrías es el conjunto O(n + 1),
el cual puede ser interpretado como un fibrado principal sobre Sn con grupo
estructural O(n). A saber, considere la proyección Π : O(n+1) → Sn definida por
Π(p1, . . . , pn+1) = p1. Identificando el grupo O(n) con el subgrupo de O(n + 1)

dado por los elementos de la forma
(
1 0
0 T

)
, T ∈ O(n),

se tiene una acción suave por traslaciones a derecha, la cual preserva las fibras.
Para cada p ∈ O(n+ 1), se tiene:

Verp(O(n+ 1)) = p ·
(
0 0
0 A

)
, A ∈ so(n);

Vol. 29, No. 1, 2011]



48 C.A. Marín Arango

Horp(O(n+ 1)) = p ·
(
0 −at

a 0,

)
∈ so(n+ 1), a ∈ Rn.

Luego todo elemento V ∈ Tp(O(n + 1)) puede escribirse de la forma:

V = p

(
0 0
0 A

)
+ p

(
0 −at

a 0,

)
,

con A ∈ so(n), a ∈ Rn.

Empleando (6) y (2), para V ∈ Tp(O(n+ 1)) se obtiene:

θ̄p(V ) = p−1dΠp(V ) = p−1

(
p ·

(
0
a;

))
= a ∈ Rn;

ω̄p(V ) = p−1

(
p

(
0 0
0 A

))
= A ∈ so(n).

Con base en lo anterior es posible escribir la forma de Maurer-Cartan como:

λ =

(
0 −θ̄t

θ̄ ω̄

)
.

Con la notación del Teorema 4.3, el par (s∗ω̂, s∗θ̂) define una 1-forma en M a
valores en el álgebra de Lie so(n+1). La condición (a) que aparece en el Teorema
3.2 (ver Observación 3.3) corresponde a la condición (3) en el Teorema 4.3; o sea,
se tiene una 1-forma en M que coincide con el pull-back por F de la forma de
Maurer-Cartan:

λ =

(
0 −θ̄t

θ̄ ω̄

)
.

del grupo de Lie P . Luego el Teorema 3.2 garantiza que el par (s∗ω̂, s∗θ̂) satisface la
ecuación de Maurer-Cartan, lo que significa que la condición (3) en el Teorema 4.3
es equivalente a la condición

(4) d

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
= −1

2

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
∧

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
,

en que el producto ∧ es considerado relativo al conmutador del álgebra de Lie
so(n + 1). Sean x ∈ M y X,Y ∈ TxM . Denotemos por A y B las matrices en
so(n+ 1) definidas por

A =

(
0 −s∗θ̂(X)t

s∗θ̂(X) s∗ω̂(X)

)
y B =

(
0 −s∗θ̂(Y )t

s∗θ̂(Y ) s∗ω̂(Y )

)
.

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 49

El conmutador de A y B en so(n+ 1) está dado por

 0

��
s∗�ω ∧ s∗�θ

�
(X,Y )

�t

�
s∗�ω ∧ s∗�θ

�
(X,Y ) ρ(X,Y ) + 1

2 s
∗�ω(X) ∧ s∗�ω(Y )


 ,

en que ρ(X,Y ) ∈ so(n) se define mediante la identidad:

ρ(X,Y ) = −s∗�θ(X)s∗�θ(Y )t + s∗�θ(Y )s∗�θ(X)t;

efectuando la derivada exterior, la condición (4) resulta equivalente a

s∗
�
d�ω +

1

2
�ω ∧ �ω

�
= −ρ, s∗

�
d�θ + �ω ∧ �θ

�
= 0. (41)

De (7) y (5) es posible concluir que las igualdades en (41) son equivalentes a

s∗�Ω = −ρ, s∗�Θ = 0. (42)

Sean x ∈ M y p = (V1, . . . , Vn) ∈ �Px un referencial ortonormal asociado con
la base canónica (e1, . . . , en) de Rn; para cada i = 1, . . . , n denotamos por Zi

la proyección sobre TxM del vector Vi . Para cada X,Y ∈ TxM denotamos por
X∗, Y ∗ ∈ Tp

�P los vectores horizontales tales que dΠp(X
∗) = X,dΠp(Y

∗) = Y .
Empleando la igualdad (13) tenemos que:

��Ωp(X
∗, Y ∗) · ei, ej� = �gx( �Rx(X,Y ) · Vi, Vj), i, j = 1, . . . , n.

Como consecuencia de la condición s∗�Ω = −ρ, para cada i, j = 1, . . . , n calcula-
mos:

�Ωp(Z
∗
i , Z

∗
j ) = s∗�θ(Zi)s

∗�θ(Zj)
t − s∗�θ(Zj)s

∗�θ(Zi)
t = Eij − Eji,

en que, Eij denota la matriz n×n con entradas nulas excepto para la componente
ij, la cual es 1, y s(x) = p. Por lo tanto, para cada i �= j se tiene

��Ωp(Z
∗
i , Z

∗
j ) · ei, ej� = −1.

De (14) y (13) es posible concluir que la igualdades en (42) son equivalentes a

(5) �g
�
�R(X,Y )ξ, η

�
= �g(Y, ξ) �g(X, η) − �g(Y, η) �g(X, ξ), �T = 0,

para X,Y ∈ Γ(TM) y ξ, η ∈ Γ( �E). Todo lo anterior se recopila en el siguiente
resultado:

Teorema 4.5. Las condiciones (1), (2) y (3) enunciadas en el Teorema 4.3 para
c = 1 y M = Sn, son equivalentes a las condiciones:

Vol. 29, No. 1, 2011]



48 C.A. Marín Arango

Horp(O(n+ 1)) = p ·
(
0 −at

a 0,

)
∈ so(n+ 1), a ∈ Rn.

Luego todo elemento V ∈ Tp(O(n + 1)) puede escribirse de la forma:

V = p

(
0 0
0 A

)
+ p

(
0 −at

a 0,

)
,

con A ∈ so(n), a ∈ Rn.

Empleando (6) y (2), para V ∈ Tp(O(n+ 1)) se obtiene:

θ̄p(V ) = p−1dΠp(V ) = p−1

(
p ·

(
0
a;

))
= a ∈ Rn;

ω̄p(V ) = p−1

(
p

(
0 0
0 A

))
= A ∈ so(n).

Con base en lo anterior es posible escribir la forma de Maurer-Cartan como:

λ =

(
0 −θ̄t

θ̄ ω̄

)
.

Con la notación del Teorema 4.3, el par (s∗ω̂, s∗θ̂) define una 1-forma en M a
valores en el álgebra de Lie so(n+1). La condición (a) que aparece en el Teorema
3.2 (ver Observación 3.3) corresponde a la condición (3) en el Teorema 4.3; o sea,
se tiene una 1-forma en M que coincide con el pull-back por F de la forma de
Maurer-Cartan:

λ =

(
0 −θ̄t

θ̄ ω̄

)
.

del grupo de Lie P . Luego el Teorema 3.2 garantiza que el par (s∗ω̂, s∗θ̂) satisface la
ecuación de Maurer-Cartan, lo que significa que la condición (3) en el Teorema 4.3
es equivalente a la condición

(4) d

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
= −1

2

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
∧

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
,

en que el producto ∧ es considerado relativo al conmutador del álgebra de Lie
so(n + 1). Sean x ∈ M y X,Y ∈ TxM . Denotemos por A y B las matrices en
so(n+ 1) definidas por

A =

(
0 −s∗θ̂(X)t

s∗θ̂(X) s∗ω̂(X)

)
y B =

(
0 −s∗θ̂(Y )t

s∗θ̂(Y ) s∗ω̂(Y )

)
.

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 49

El conmutador de A y B en so(n+ 1) está dado por

 0

��
s∗�ω ∧ s∗�θ

�
(X,Y )

�t

�
s∗�ω ∧ s∗�θ

�
(X,Y ) ρ(X,Y ) + 1

2 s
∗�ω(X) ∧ s∗�ω(Y )


 ,

en que ρ(X,Y ) ∈ so(n) se define mediante la identidad:

ρ(X,Y ) = −s∗�θ(X)s∗�θ(Y )t + s∗�θ(Y )s∗�θ(X)t;

efectuando la derivada exterior, la condición (4) resulta equivalente a

s∗
�
d�ω +

1

2
�ω ∧ �ω

�
= −ρ, s∗

�
d�θ + �ω ∧ �θ

�
= 0. (41)

De (7) y (5) es posible concluir que las igualdades en (41) son equivalentes a

s∗�Ω = −ρ, s∗�Θ = 0. (42)

Sean x ∈ M y p = (V1, . . . , Vn) ∈ �Px un referencial ortonormal asociado con
la base canónica (e1, . . . , en) de Rn; para cada i = 1, . . . , n denotamos por Zi

la proyección sobre TxM del vector Vi . Para cada X,Y ∈ TxM denotamos por
X∗, Y ∗ ∈ Tp

�P los vectores horizontales tales que dΠp(X
∗) = X,dΠp(Y

∗) = Y .
Empleando la igualdad (13) tenemos que:

��Ωp(X
∗, Y ∗) · ei, ej� = �gx( �Rx(X,Y ) · Vi, Vj), i, j = 1, . . . , n.

Como consecuencia de la condición s∗�Ω = −ρ, para cada i, j = 1, . . . , n calcula-
mos:

�Ωp(Z
∗
i , Z

∗
j ) = s∗�θ(Zi)s

∗�θ(Zj)
t − s∗�θ(Zj)s

∗�θ(Zi)
t = Eij − Eji,

en que, Eij denota la matriz n×n con entradas nulas excepto para la componente
ij, la cual es 1, y s(x) = p. Por lo tanto, para cada i �= j se tiene

��Ωp(Z
∗
i , Z

∗
j ) · ei, ej� = −1.

De (14) y (13) es posible concluir que la igualdades en (42) son equivalentes a

(5) �g
�
�R(X,Y )ξ, η

�
= �g(Y, ξ) �g(X, η) − �g(Y, η) �g(X, ξ), �T = 0,

para X,Y ∈ Γ(TM) y ξ, η ∈ Γ( �E). Todo lo anterior se recopila en el siguiente
resultado:

Teorema 4.5. Las condiciones (1), (2) y (3) enunciadas en el Teorema 4.3 para
c = 1 y M = Sn, son equivalentes a las condiciones:

Vol. 29, No. 1, 2011]



50 C.A. Marín Arango

(4) d

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
= −1

2

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
∧

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
;

(5) ĝ
(
R̂(X,Y )ξ, η

)
= ĝ(Y, ξ) ĝ(X, η) − ĝ(Y, η) ĝ(X, ξ), T̂ = 0, para cada

X,Y ∈ Γ(TM) y cada ξ, η ∈ Γ(Ê).

Inmersiones en M = Hn

El espacio completo conexo simplemente conexo con curvatura seccional constante
c = −1 es el hiperboloide M = Hn dado por

Hn = {x ∈ Rn+1 : �x, x�L = −1 ∧ x0 > 0},

en que �·, ·�L denota el producto de Minkowski. Por lo tanto, para cada x ∈ Hn se
tiene

TxH
n = {v ∈ Rn+1 : �v, x�L = 0}.

Luego es posible escoger una base {b0 = x, b1, . . . , bn} para Rn+1 tal que �x, bi�L =

0, �bi, bj�L = δij , lo que muestra que la métrica inducida por �·, ·�L en Hn es
riemanniana. El grupo de isometrías es el conjunto O1(n + 1), formado por las
isometrías de (Rn+1, �·, ·�L) que preservan orientación temporal, i.e., mantienen el
signo de la primera coordenada. Identificando el grupo O(n) con el subgrupo de
O1(n+ 1) dado por los elementos de la forma

(
1 0
0 T

)
, T ∈ O(n),

se tiene una acción suave libre y transitiva en los referenciales ortonormales de
Hn. Luego el fibrado O(n)-principal de los referenciales ortonormales P puede ser
identificado con el grupo O1(n+ 1). Para cada p ∈ O1(n+ 1) se tiene:

Verp(O
1(n+ 1)) = p ·

(
0 0
0 A

)
, A ∈ so(n);

Horp(O
1(n+ 1))) = p ·

(
0 at

a 0,

)
∈ so(n+ 1), a ∈ Rn.

Por lo tanto, todo elemento V ∈ Tp(O
1(n+ 1)) puede escribirse de la forma

V = p

(
0 0
0 A

)
+ p

(
0 at

a 0,

)
,

con A ∈ so(n), a ∈ Rn.

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 51

Empleando (6) y (2), para V ∈ Tp(O
1(n+ 1)) se obtiene:

θ̄p(V ) = a ∈ Rn;

ω̄p(V ) = A ∈ so(n).

Con base en lo anterior es posible escribir la forma de Maurer-Cartan como:

λ =

(
0 θ̄t

θ̄ ω̄

)
.

De forma análoga a lo realizado para la esfera, el par (s∗ω̂, s∗θ̂) define una 1-forma
en M que coincide con el pull-back por F de la forma de Maurer-Cartan

λ =

(
0 θ̄t

θ̄ ω̄

)

del grupo de Lie P ; además, esta 1-forma satisface la ecuación de Maurer-Cartan,
lo que significa que la condición (3) en el Teorema 4.3 equivale a la condición

(4) d

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
= −1

2

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
∧

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
.

Ídem a los casos anteriores, se concluye que la condición (4) es equivalente a

s∗Ω̂ = −ϕ, s∗Θ̂ = 0, (43)

en donde ϕ(X,Y ) = s∗θ̂(X)s∗θ̂(Y )t − s∗θ̂(Y )s∗θ̂(X)t. Además, se obtiene el si-
guiente resultado:

Teorema 4.6. Las condiciones (1), (2) y (3) enunciadas en el Teorema 4.3 para
c = −1 y M = Hn, son equivalentes a las condiciones:

(4) d

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
= −1

2

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
∧

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
;

(5) s∗Ω̂ = −ϕ, s∗Θ̂ = 0;

(6) ĝ
(
R̂(X,Y )ξ, η

)
= ĝ(Y, ξ) ĝ(X, η) − ĝ(Y, η) ĝ(X, ξ), T̂ = 0, para cada

X,Y ∈ Γ(TM) y cada ξ, η ∈ Γ(Ê).

Vol. 29, No. 1, 2011]



50 C.A. Marín Arango

(4) d

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
= −1

2

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
∧

(
0 −s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
;

(5) ĝ
(
R̂(X,Y )ξ, η

)
= ĝ(Y, ξ) ĝ(X, η) − ĝ(Y, η) ĝ(X, ξ), T̂ = 0, para cada

X,Y ∈ Γ(TM) y cada ξ, η ∈ Γ(Ê).

Inmersiones en M = Hn

El espacio completo conexo simplemente conexo con curvatura seccional constante
c = −1 es el hiperboloide M = Hn dado por

Hn = {x ∈ Rn+1 : �x, x�L = −1 ∧ x0 > 0},

en que �·, ·�L denota el producto de Minkowski. Por lo tanto, para cada x ∈ Hn se
tiene

TxH
n = {v ∈ Rn+1 : �v, x�L = 0}.

Luego es posible escoger una base {b0 = x, b1, . . . , bn} para Rn+1 tal que �x, bi�L =

0, �bi, bj�L = δij , lo que muestra que la métrica inducida por �·, ·�L en Hn es
riemanniana. El grupo de isometrías es el conjunto O1(n + 1), formado por las
isometrías de (Rn+1, �·, ·�L) que preservan orientación temporal, i.e., mantienen el
signo de la primera coordenada. Identificando el grupo O(n) con el subgrupo de
O1(n+ 1) dado por los elementos de la forma

(
1 0
0 T

)
, T ∈ O(n),

se tiene una acción suave libre y transitiva en los referenciales ortonormales de
Hn. Luego el fibrado O(n)-principal de los referenciales ortonormales P puede ser
identificado con el grupo O1(n+ 1). Para cada p ∈ O1(n+ 1) se tiene:

Verp(O
1(n+ 1)) = p ·

(
0 0
0 A

)
, A ∈ so(n);

Horp(O
1(n+ 1))) = p ·

(
0 at

a 0,

)
∈ so(n+ 1), a ∈ Rn.

Por lo tanto, todo elemento V ∈ Tp(O
1(n+ 1)) puede escribirse de la forma

V = p

(
0 0
0 A

)
+ p

(
0 at

a 0,

)
,

con A ∈ so(n), a ∈ Rn.

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 51

Empleando (6) y (2), para V ∈ Tp(O
1(n+ 1)) se obtiene:

θ̄p(V ) = a ∈ Rn;

ω̄p(V ) = A ∈ so(n).

Con base en lo anterior es posible escribir la forma de Maurer-Cartan como:

λ =

(
0 θ̄t

θ̄ ω̄

)
.

De forma análoga a lo realizado para la esfera, el par (s∗ω̂, s∗θ̂) define una 1-forma
en M que coincide con el pull-back por F de la forma de Maurer-Cartan

λ =

(
0 θ̄t

θ̄ ω̄

)

del grupo de Lie P ; además, esta 1-forma satisface la ecuación de Maurer-Cartan,
lo que significa que la condición (3) en el Teorema 4.3 equivale a la condición

(4) d

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
= −1

2

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
∧

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
.

Ídem a los casos anteriores, se concluye que la condición (4) es equivalente a

s∗Ω̂ = −ϕ, s∗Θ̂ = 0, (43)

en donde ϕ(X,Y ) = s∗θ̂(X)s∗θ̂(Y )t − s∗θ̂(Y )s∗θ̂(X)t. Además, se obtiene el si-
guiente resultado:

Teorema 4.6. Las condiciones (1), (2) y (3) enunciadas en el Teorema 4.3 para
c = −1 y M = Hn, son equivalentes a las condiciones:

(4) d

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
= −1

2

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
∧

(
0 s∗θ̂t

s∗θ̂ s∗ω̂

)
;

(5) s∗Ω̂ = −ϕ, s∗Θ̂ = 0;

(6) ĝ
(
R̂(X,Y )ξ, η

)
= ĝ(Y, ξ) ĝ(X, η) − ĝ(Y, η) ĝ(X, ξ), T̂ = 0, para cada

X,Y ∈ Γ(TM) y cada ξ, η ∈ Γ(Ê).

Vol. 29, No. 1, 2011]



52 C.A. Marín Arango

4.5. Inmersiones isométricas en espacios arbitrarios

En esta sección abordamos el problema de determinar la existencia de inmersiones
isométricas entre variedades riemannianas arbitrarias. Empleando la notación y la
terminología antes establecidas, fijemos objetos (M,g), (M, ḡ), π : (E, gE) → M ,
Ê, ∇̂, ∇, P̂ y P . Dado un referencial local s : U → P̂ , denótese por λP la 1-forma
en P a valores en Rn̄ ⊕ so(n̄) obtenida restringiendo la 1-forma (θ̄, ω̄), y por λU

la 1-forma en U a valores en Rn̄ ⊕ so(n̄) definida por

λU = (s∗θ̂, s∗ω̂).

Dado que ∇ es la conexión de Levi-Civita, se tiene que λP
p̄ : Tp̄P → Rn̄ ⊕ so(n̄)

define un isomorfismo para cada p̄ ∈ P .

Para x ∈ U , y ∈ M y p̄ ∈ P considérese la aplicación lineal

τ = (λP
p̄ )

−1 ◦ λU
x : TxM −→ Tp̄P .

Con el fin de aplicar el Teorema 3.2 para obtener una aplicación suave F : U → P

tal que F ∗λP = λU , debemos mostrar que

τ∗dλP
p̄ = dλV

x , (44)

o de forma equivalente,

τ∗(dθ̄ + ω̄ ∧ θ̄)p̄ =
(
s∗(d θ̂ + ω̂ ∧ θ̂)

)
x
,

τ∗(dω̄ + 1
2 ω̄ ∧ ω̄)p̄ =

(
s∗(dω̂ + 1

2 ω̂ ∧ ω̂)
)
x
.

(45)

Pero, de (5) y (7), las igualdades en (45) equivalen a

τ∗Θ̄p̄ = (s∗Θ̂)x, τ∗Ω̄p̄ = (s∗Ω̂)x, (46)

donde Θ̄ denota la forma de torsión de FR(TM), Ω̄ denota la forma de curvatura
asociada con la conexión ∇, Θ̂ denota la ι-torsión de FR(Ê) y Ω̂ denota la forma
de curvatura asociada con la conexión ∇̂. Usando (13) y (14) concluimos que las
identidades en (46) son válidas si, y solamente si,

p̄−1
(
T y

(
dΠp̄[τ(v)],dΠp̄[τ(w)]

))
= s(x)−1

(
T̂x(v,w)

)
,

p̄−1 ◦Ry

(
dΠp̄[τ(v)],dΠp̄[τ(w)]

)
◦ p̄ = s(x)−1 ◦ R̂x(v,w) ◦ s(x),

(47)

para cada v,w ∈ TxM . Calculando, se obtiene

(dΠp̄ ◦ τ)(v) =
(
dΠp̄ ◦ (λP

p̄ )
−1 ◦ λU

x

)
(v) =

(
p̄ ◦ s(x)−1

)
(v).

[Revista Integración

Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 53

Como ∇ es la conexión de Levi-Civita, T = 0; luego (47) equivale a

T̂ = 0, Ry

(
σ(v), σ(w)

)
= σ ◦ R̂x(v,w) ◦ σ−1, (48)

en donde σ = p̄ ◦ s(x)−1.

Por lo tanto, para obtener el resultado deseado es necesario suponer que ∇̂ tiene
torsión nula, luego esta es la conexión de Levi-Civita en Ê; además, que para cada
y, z ∈ M , toda isometría φ : TyM → TzM relaciona Ry con Rz, y que para cada
x ∈ M , toda isometría σ : Êx → TyM , relaciona R̂x con Ry. Más específicamente,
tenemos:

Teorema 4.7. Fijemos objetos (M,g), (M, ḡ), π : (E, gE) → M , Ê, ∇̂, ∇, P̂ y P

como en el planteamiento del problema. Denotemos por R̂ y R, respectivamente
los tensores de curvatura de ∇̂ y ∇, y supongamos que ∇̂ es la conexión de Levi-
Civita en Ê; además, para cada y, z ∈ M y cada x ∈ M , y supongamos que toda
isometría φ : TyM → TzM relaciona Ry con Rz, y toda isometría σ : Êx → TyM ,
relaciona R̂x con Ry. Entonces, para cada x0 ∈ M , cada y0 ∈ M y cada isometría
σ0 : Êx0

→ Ty0M , existe un par (f, S) en que f : U → M es una función suave,
con f(x0) = y0, y S : Ê → f∗(TM) es un isomorfismo de fibrados tal que:

(1) Sx0
= σ0;

(2) para cada y ∈ U , Sy :
(
(Ê |U )y, gEy

)
→

(
(f∗TM)y, ḡf(y)) es una isometría;

(3) S∗(f∗∇̄) = ∇̂ |U ;

(4) S |TM= df .

5. Consideraciones finales

Todos los resultados presentados en este trabajo referentes a la existencia de
inmersiones isométricas con segunda forma fundamental y conexión normal
preestablecidas son de carácter local; para obtener enunciados globales es nece-
sario suponer que la variedad M es simplemente conexa y que la variedad M es
geodésicamente completa.

El resultado referente a la existencia de inmersiones en variedades completas
conexas y de curvatura seccional constante empleó una versión apropiada del
Teorema 3.2; más específicamente, el hecho de que el fibrado de los referen-
ciales ortogonales admite una estructura de grupo de Lie (ver la Observación
3.3). Esta casualidad desafortunadamente no es válida en el caso de una variedad
riemanniana arbitraria. Sin embargo, esta es una situación general en el siguien-
te sentido: si M es una variedad arbitraria dotada de una conexión lineal ∇,

Vol. 29, No. 1, 2011]



52 C.A. Marín Arango

4.5. Inmersiones isométricas en espacios arbitrarios

En esta sección abordamos el problema de determinar la existencia de inmersiones
isométricas entre variedades riemannianas arbitrarias. Empleando la notación y la
terminología antes establecidas, fijemos objetos (M,g), (M, ḡ), π : (E, gE) → M ,
Ê, ∇̂, ∇, P̂ y P . Dado un referencial local s : U → P̂ , denótese por λP la 1-forma
en P a valores en Rn̄ ⊕ so(n̄) obtenida restringiendo la 1-forma (θ̄, ω̄), y por λU

la 1-forma en U a valores en Rn̄ ⊕ so(n̄) definida por

λU = (s∗θ̂, s∗ω̂).

Dado que ∇ es la conexión de Levi-Civita, se tiene que λP
p̄ : Tp̄P → Rn̄ ⊕ so(n̄)

define un isomorfismo para cada p̄ ∈ P .

Para x ∈ U , y ∈ M y p̄ ∈ P considérese la aplicación lineal

τ = (λP
p̄ )

−1 ◦ λU
x : TxM −→ Tp̄P .

Con el fin de aplicar el Teorema 3.2 para obtener una aplicación suave F : U → P

tal que F ∗λP = λU , debemos mostrar que

τ∗dλP
p̄ = dλV

x , (44)

o de forma equivalente,

τ∗(dθ̄ + ω̄ ∧ θ̄)p̄ =
(
s∗(d θ̂ + ω̂ ∧ θ̂)

)
x
,

τ∗(dω̄ + 1
2 ω̄ ∧ ω̄)p̄ =

(
s∗(dω̂ + 1

2 ω̂ ∧ ω̂)
)
x
.

(45)

Pero, de (5) y (7), las igualdades en (45) equivalen a

τ∗Θ̄p̄ = (s∗Θ̂)x, τ∗Ω̄p̄ = (s∗Ω̂)x, (46)

donde Θ̄ denota la forma de torsión de FR(TM), Ω̄ denota la forma de curvatura
asociada con la conexión ∇, Θ̂ denota la ι-torsión de FR(Ê) y Ω̂ denota la forma
de curvatura asociada con la conexión ∇̂. Usando (13) y (14) concluimos que las
identidades en (46) son válidas si, y solamente si,

p̄−1
(
T y

(
dΠp̄[τ(v)],dΠp̄[τ(w)]

))
= s(x)−1

(
T̂x(v,w)

)
,

p̄−1 ◦Ry

(
dΠp̄[τ(v)],dΠp̄[τ(w)]

)
◦ p̄ = s(x)−1 ◦ R̂x(v,w) ◦ s(x),

(47)

para cada v,w ∈ TxM . Calculando, se obtiene

(dΠp̄ ◦ τ)(v) =
(
dΠp̄ ◦ (λP

p̄ )
−1 ◦ λU

x

)
(v) =

(
p̄ ◦ s(x)−1

)
(v).

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Inmersiones isométricas en variedades riemannianas 53

Como ∇ es la conexión de Levi-Civita, T = 0; luego (47) equivale a

T̂ = 0, Ry

(
σ(v), σ(w)

)
= σ ◦ R̂x(v,w) ◦ σ−1, (48)

en donde σ = p̄ ◦ s(x)−1.

Por lo tanto, para obtener el resultado deseado es necesario suponer que ∇̂ tiene
torsión nula, luego esta es la conexión de Levi-Civita en Ê; además, que para cada
y, z ∈ M , toda isometría φ : TyM → TzM relaciona Ry con Rz, y que para cada
x ∈ M , toda isometría σ : Êx → TyM , relaciona R̂x con Ry. Más específicamente,
tenemos:

Teorema 4.7. Fijemos objetos (M,g), (M, ḡ), π : (E, gE) → M , Ê, ∇̂, ∇, P̂ y P

como en el planteamiento del problema. Denotemos por R̂ y R, respectivamente
los tensores de curvatura de ∇̂ y ∇, y supongamos que ∇̂ es la conexión de Levi-
Civita en Ê; además, para cada y, z ∈ M y cada x ∈ M , y supongamos que toda
isometría φ : TyM → TzM relaciona Ry con Rz, y toda isometría σ : Êx → TyM ,
relaciona R̂x con Ry. Entonces, para cada x0 ∈ M , cada y0 ∈ M y cada isometría
σ0 : Êx0

→ Ty0M , existe un par (f, S) en que f : U → M es una función suave,
con f(x0) = y0, y S : Ê → f∗(TM) es un isomorfismo de fibrados tal que:

(1) Sx0
= σ0;

(2) para cada y ∈ U , Sy :
(
(Ê |U )y, gEy

)
→

(
(f∗TM)y, ḡf(y)) es una isometría;

(3) S∗(f∗∇̄) = ∇̂ |U ;

(4) S |TM= df .

5. Consideraciones finales

Todos los resultados presentados en este trabajo referentes a la existencia de
inmersiones isométricas con segunda forma fundamental y conexión normal
preestablecidas son de carácter local; para obtener enunciados globales es nece-
sario suponer que la variedad M es simplemente conexa y que la variedad M es
geodésicamente completa.

El resultado referente a la existencia de inmersiones en variedades completas
conexas y de curvatura seccional constante empleó una versión apropiada del
Teorema 3.2; más específicamente, el hecho de que el fibrado de los referen-
ciales ortogonales admite una estructura de grupo de Lie (ver la Observación
3.3). Esta casualidad desafortunadamente no es válida en el caso de una variedad
riemanniana arbitraria. Sin embargo, esta es una situación general en el siguien-
te sentido: si M es una variedad arbitraria dotada de una conexión lineal ∇,

Vol. 29, No. 1, 2011]



54 C.A. Marín Arango

G ⊂ GL(n) es un grupo de Lie y P ⊂ FR(M) es una G-estructura en M , decimos
que la tripla (M,∇, P ) es una variedad afín homogénea si para cada x, y ∈ M

y cada p, q ∈ Px, existe una difeomorfismo f : M → M que preserva conexión,
preserva G-estructura y tal que f(x) = y y dfx ◦ p = q. Es decir, la tripla es ho-
mogénea si se tiene una acción transitiva del grupo de los difeomorfismos en M ,
los cuales preservan conexión y G-estructura sobre los referenciales de P . Cuando
M es conexa, esa acción es libre, y por lo tanto P puede ser identificado con ese
grupo de automorfismos, el cual es un grupo de Lie.

El enunciado del Teorema 4.7 asume que ∇ es la conexión de Levi-Civita en
(M,g), y además que ∇̂ es una conexión compatible con la estructura métrica
en el fibrado vectorial Ê; sin embargo, esto puede ser demostrado asumiendo
simplemente que ∇ es una conexión compatible con la estructura métrica g. En
este caso se debe tener una hipótesis adicional relativa a la torsión similar a la
impuesta para el tensor de curvatura; más específicamente, para cada y, z ∈ M ,
cada x ∈ M , toda isometría φ : TyM → TzM relaciona T y con T z y toda isometría
σ : Êx → TyM relaciona T̂x con T y. Más generalmente, puede pensarse en abolir
las condiciones referentes a la compatibilidad de las conexiones ∇ y ∇̂ con las
respectivas estructuras métricas, caso en el cual aparece un tensor I llamado
torsión interna, que mide el grado de compatibilidad de las conexiones con las
respectivas estructuras métricas (ver [3]). En este caso, una hipótesis adicional
igual a la impuesta para los tensores de curvatura y torsión es necesaria para el
tensor I.

Referencias

[1] Dajczer M., Submanifolds and isometric immersions, Mathematics Lecture Series, 13,
Publish or Perish, Houston, Texas, 1990.

[2] Daniel B., “Isometric immersions into 3-dimensional homogeneous manifolds”, Comment.

Math. Helv. 82 (2007), no. 1, 87–131.

[3] Piccione P. and Tausk D., The theory of connections and G–structures. Applications to

affine and isometric immersions, XIV Escola de Geometría Diferencial, IMPA, Rio de
Janeiro, 2006.

[4] Warner F., Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in
Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1983.

[Revista Integración

∮
Revista Integración

Escuela de Matemáticas

Universidad Industrial de Santander

Vol. 29, No. 1, 2011, pág. 55–58

Fibrados vectoriales equivariantes en espacios

homogéneos compactos

Fernando Ricardo González Díaz ∗

Universidad Politécnica del Valle de Toluca, Ciencias Básicas, Almoloya de

Juárez, México.

Dedicado a Imelda Díaz Mendoza

Resumen. Se desarrollan los resultados algebraicos concernientes a los fi-
brados vectoriales equivariantes sobre algunos espacios compactos, usando
construcciones y argumentos globales. El enfoque que se le da es un tanto
algebraico.
Palabras claves: fibrado vectorial equivariante, representación, A-módulo
proyectivo.
MSC2000: 55R25, 53C05, 14M17.

Equivariant vector bundles on compact

homogeneous spaces

Abstract. Algebraic results are developed concerning to the equivariant
vector bundles on some compact spaces, using global constructions and ar-
guments. In a sense the approach is algebraic.
Keywords: equivariant vector bundle, representation, projective A-module.

1. Introducción

En la geometría no conmutativa (GNC) los espacios topológicos son reemplaza-
dos por sus álgebras de coordenadas, y los fibrados vectoriales por sus módulos de
secciones. De la misma forma, las extensiones principales de álgebras asumen el
papel de fibrados principales cuánticos. Al nivel topológico, una acción principal
de grupo quiere decir una acción libre y propia; a nivel algebraico, un fibrado prin-
cipal se traduce en un funtor monoidal, desde la categoría de las representaciones

0∗Autor para correspondencia: E-mail : rgonzalez@upvt.edu.mx

Recibido: 2 de Mayo de 2011, Aceptado: 13 de Junio de 2011.

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