Método de elementos finitos mixtos aplicado a la ecuación de Poisson

Abstract

RESUMEN: Inicialmente se analiza problemas variacionales de punto de silla sobre espacios de Hilbert junto con la existencia y unicidad de sus soluciones. Posteriormente, se aplica ésta teoría a un problema de Poisson con condiciones de frontera tipo Dirichlet y se resuelve numéricamente la formulación variacional obtenida usando un método de elementos finitos mixtos, el cual combina dos tipos distintos de funciones bases. En particular, se utiliza elementos tipo constante para aproximar la variable principal del problema, y elementos de Raviart-Thomas con $k=0$ para aproximar su gradiente. Se comprueba experimentalmente órdenes de convergencia del error en $L^2$.

ABSTRACT: Initially, variational saddle point problems on Hilbert spaces are analyzed together with the existence and uniqueness of their solutions. Subsequently, this theory is applied to a Poisson problem with Dirichlet-type boundary conditions and the variational formulation obtained using a mixed finite element method is solved numerically, which combines two different types of base functions. In particular, constant type elements are used to approximate the main variable of the problem, and Raviart-Thomas elements with $ k = 0 $ to approximate its gradient. Orders of convergence of the error in $ L ^ 2 $ are tested experimentally.