Comprensión del concepto de curva en el marco de la teoría de Pirie y Kieren

Abstract

RESUMEN: La importancia histórica y epistemológica del concepto de curva y la creciente preocupación por el estudio de la comprensión que se ha generalizado en el ámbito de la Educación Matemática, despiertan el interés por aportar en este campo a través de la presente investigación, la cual se enfoca en la comprensión del concepto de curva en las transiciones entre lo discreto y lo continuo en el marco de la teoría de la evolución de la comprensión matemática planteada hace algunas décadas atrás por Susan Pirie y Thomas Kieren. En principio se plantea el problema de investigación, el cual converge en la pregunta que busca responder cómo es el proceso de comprensión del concepto de curva en estudiantes de cálculo integral de programas de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Antioquia. A partir de allí, se hace necesario conocer la evolución y principales elementos que estructuraron dicho concepto a lo largo de siglos de evolución de la matemática, destacando a su vez los aportes más fehacientes de reconocidos matemáticos a través de la historia. Posteriormente, se analizan los conceptos de continuidad, discreto e infinito, pilares dentro de la formalización de lo que se ha denominado en este estudio como transición. Esta discusión en torno a tales conceptos son el preámbulo para articularlos con la comprensión como objeto de estudio. Luego de esta confluencia entre el objeto matemático y el objeto de estudio de la investigación, se plantea como objetivo analizar en los estudiantes de un curso de cálculo integral que hacen parte de los cursos del núcleo común de los programas de Ingeniería de dicha Facultad, la comprensión del concepto de curva en la transición entre lo discreto y lo continuo mediante procesos de razonamiento infinito en el marco de la teoría de Pirie y Kieren (PK). Para lograrlo, se emplea la metodología de experimentos de enseñanza (conocida por sus siglas en inglés como TEM: Teaching Experiment Methodology), que permiten estructurar un episodio de enseñanza a través de tres fases: preparación del experimento, experimentación y análisis preliminar, y por último, análisis retrospectivo. A su vez, dentro de estas fases se implementan tres instrumentos de recolección de información (cuestionario inicial, entrevista semiestructurada, cuestionario final) y, para cada uno de ellos se diseñan una serie de descriptores que son refinados a lo largo de la investigación. De este modo, una vez obtenidos los resultados del trabajo de campo, los descriptores son utilizados para ubicar los estudiantes en un nivel de comprensión dentro del modelo PK y a su vez asociar las variables dentro de la unidad de análisis, con el fin de generar la matriz de perfil de cada estudiante. Los resultados obtenidos con dicha matriz integran el TEM, los niveles PK y las categorías de análisis, brindando un panorama que exhibe el nivel de comprensión de cada estudiante con respecto al concepto de curva y una serie de conclusiones de gran relevancia. Desde el punto de vista histórico y epistemológico se deja en evidencia la importancia del concepto de curva al momento de entrar en discusión sobre la noción de derivada e integral. Esto en gran medida por que tanto la derivada como la integral se fundamentan desde el concepto de curva en sí misma, y, la manera como las respuestas de los estudiantes en los instrumentos lo validan, se entra en conflictos y contradicciones incluso cuando no se reconoce si una función es una curva o si la generación de una curva implica movimiento. Estas consideraciones en el cálculo con base en los resultados obtenidos dan cuenta de que debe destacarse y replantear el concepto antes de formalizar otros que dependen de este para su definición y formalización. Por último, la investigación plasma la importancia de los TEM dentro de la enseñanza de la matemática, y en este sentido, queda todo un camino por recorrer en pro de ampliar los experimentos de enseñanza en el aula, de tal manera que la evolución de la comprensión de los estudiantes se convierta en sí mismo en el eje principal de las propuestas pedagógicas de los profesores siendo estos a su vez docentes, tutores e investigadores.

ABSTRACT: The historical and epistemological importance of the concept of curve and the growing concern for the study of comprehension that has become widespread in the field of Mathematics Education, arouse interest in contributing to this field through this research, which focuses on the understanding of the concept of curve in the transitions between the discrete and the continuous within the framework of the theory of the evolution of mathematical understanding raised a few decades ago by Susan Pirie and Thomas Kieren. In principle, the research problem is posed, which converges in the question that seeks to answer how is the process of understanding the concept of curve in students of Calculus of programs of the Faculty of Engineering of the University of Antioquia? From there, it is necessary to know the evolution and main elements that structured this concept throughout centuries of evolution of mathematics, highlighting in turn the most reliable contributions of renowned mathematicians throughout history. Subsequently, the concepts of continuity, discrete and infinite are analyzed, pillars within the formalization of what has been called in this study as transition. This discussion around such concepts is the preamble to articulate them with understanding as an object of study. After this confluence between the mathematical object and the object of study of the research, the objective is to analyze in the students of an integral calculus course that is part of the common core courses of the Engineering programs of said Faculty, the understanding of the concept of curve in the transition between the discrete and the continuous through infinite reasoning processes within the framework of the Pirie and Kieren (PK) theory. And to achieve this, the teaching experiment methodology (known by its acronym in English as TEM: Teaching Experiment Methodology) is used, which allows a teaching episode to be structured through three phases: experiment preparation, experimentation, and preliminary analysis, and lastly, retrospective analysis. In turn, within these phases three data collection instruments are implemented (initial questionnaire, semi-structured interview, final questionnaire) and, for each of them, a series of descriptors are designed that are refined throughout the investigation. In this way, once the results of the field work have been obtained, the descriptors are used to locate the students at a level of understanding within the PK model and in turn associate the variables within the unit of analysis, to generate the profile matrix of each student. The results obtained with said matrix integrate the TEM, the PK levels, and the analysis categories, providing an overview that shows the level of understanding of each student regarding the concept of curve and a series of highly relevant conclusions. From the historical and epistemological point of view, the importance of the concept of curve is evident when entering a discussion about the notion of derivative and integral. This is largely because both the derivative and the integral are based on the concept of the curve itself, and the way in which the responses of the students in the instruments validate it, conflicts and contradictions arise even when it is not recognized. whether a function is a curve or whether the generation of a curve involves motion. These considerations in the calculation based on the results obtained show that the concept must be highlighted and reconsidered before formalizing others that depend on it for its definition and formalization. Finally, the research reflects the importance of TEM within the teaching of mathematics, and in this sense, there is still a long way to go in order to expand the teaching experiments in the classroom, in such a way that the evolution of the understanding of the students becomes itself the main axis of the pedagogical proposals of the teachers, being these in turn teachers, tutors and researchers.